¿Cómo resolver esta integral elíptico?

Question

¿Alguien puede explicarme a mí cómo encontrar la integral?

$$ \int_0^1\sqrt{9x^4+4x^2+1}dx =? $$

Answer 1

Un texto:

Harris Hancock, conferencias sobre la teoría de funciones elípticas, 498 páginas (1909)

Tengo la edición de Dover, 1958

He mirado en Amazon... parece la edición de cubierta blanda ahora vende para alrededor de \$10, and the Kindle edition is \$1...

Answer 2

$$\underbrace{\int\sqrt{9x^4+4x^2+1}\ dx}_J=x\sqrt{9x^4+4x^2+1}-\int x\frac{\big(9x^4+4x^2+1\big)'}{2\sqrt{9x^4+4x^2+1}}dx=x\sqrt{f(x)}-I.$$

$$x\cdot f'(x)=4\Big[f(x)-(2x^2+1)\Big]\iff I=2\ J-4\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{f(x)}}dx}_{I_2}-2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{f(x)}}}_{I_2}$$

$J=\dfrac{x\sqrt{f(x)}+4\ I_1+2\ I_2}3$ . Ambas integrales, que primer $t=x^2$, completan el cuadrado en su denominador y usan el hecho de que $\text{arcsin[h]}'u=\dfrac1{\sqrt{1\mp u^2}}$, $u=u(t)$, en orden al finalmente ser capaz de expresar en términos de integrales elípticas de $y(u)=w\big(\text{arcsin[h] }u\big)$.

Answer 3

A pesar de esta integral en realidad pertenece a una integral elíptica, pero esto no significa que siempre se puede expresar una integral elíptica de la integral elíptica de los tres tipos estándar convenientemente, http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%289x%5E4%2B4x%5E2%2B1%29%5E%281%2F2%29&random=false puede decirnos por qué.

Además, es mejor para hacer frente a este parte integrante de este enfoque de la serie:

Sugerencia:

$\int_0^1\sqrt{9x^4+4x^2+1}~dx$

$=\int_0^\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}\sqrt{9x^4+4x^2+1}~dx+\int_\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}^1\sqrt{9x^4+4x^2+1}~dx$ (separación de acuerdo a la raíz entre el$0$$1$$9x^4+4x^2=1$)

$=\int_0^\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}\sqrt{1+x^2(9x^2+4)}~dx+\int_\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}^1x\sqrt{9x^2+4}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2(9x^2+4)}}~dx$

$=\int_0^\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!(x^2(9x^2+4))^n}{4^n(n!)^2(1-2n)}dx+\int_\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}^1x\sqrt{9x^2+4}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2(1-2n)(x^2(9x^2+4))^n}dx$

$=\int_0^\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^n(2n)!C_k^n4^{n-k}9^kx^{2n+2k}}{4^n(n!)^2(1-2n)}dx+\int_\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}^1x\sqrt{9x^2+4}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2(1-2n)x^{2n}(9x^2+4)^n}dx$

$=\int_0^\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^n(2n)!9^kx^{2n+2k}}{4^kn!k!(n-k)!(1-2n)}dx+\int_\frac{\sqrt{\sqrt{13}-2}}{3}^1\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2(1-2n)x^{2n-1}(9x^2+4)^{n-\frac{1}{2}}}dx$