Ayuda prueba de comprensión de la desigualdad de Schwarz

Question

Estoy trabajando a través de Spivak del Cálculo durante el verano, y actualmente estoy en la resolución de 19 de Capítulo 1, lo que implica que demuestra el Schwarz desigualdad. Las dos primeras partes de la prueba son bastante sencillos, pero no entiendo la última parte. Spivak da la desigualdad:

$0<\lambda^2(y_1^2+y_2^2)-2\lambda(x_1y_1+x_2y_2)+(x_1^2+x_2^2)$

y sugiere el uso de la fórmula cuadrática (no estoy seguro de entender esta parte, puesto que la ecuación es mayor que cero, ¿cómo puede haber alguna solución?) para llegar al Schwarz desigualdad. En la clave de respuestas, el siguiente es dado.

$\displaystyle\left[\frac{2(x_1y_1+x_2y_2)}{(y_1^2+y_2^2)}\right]^2-\frac{4(x_1^2+y_1^2)}{(y_1^2+y_2^2)}<0$

No estoy realmente seguro de cómo esto sigue, ya que no puede obtener sólo por tratar de encontrar las raíces de las ecuaciones vis a vis de la fórmula cuadrática.

Answer 1

Su observación de que no hay ninguna solución es precisamente la clave de la solución.

Usted tiene $$0=\lambda^2(y_1^2+y_2^2)-2\lambda(x_1y_1+x_2y_2)+(x_1^2+x_2^2)$$

tiene una solución real si y sólo si el discriminante (la parte por debajo de la raíz en la fórmula cuadrática) es $\geq 0$.

Pero el discriminante es justo

$$\displaystyle\left[\frac{2(x_1y_1+x_2y_2)}{(y_1^2+y_2^2)}\right]^2-\frac{4(x_1^2+y_1^2)}{(y_1^2+y_2^2)}.$$

Juntando las piezas de esta producción: Puesto que la ecuación tiene ninguna solución, el discriminante es negativo. Reorganizar da de Cauchy-Schwarz.

Edit: supongo que usted sabe cómo conseguir la primera desigualdad, pero sólo para la integridad nota que es equivalente a $\left<\lambda y-x,\lambda y-x\right>>0$. Y para ser totalmente precisa, tendrá que lidiar con el caso de que $x$ $y$ son linealmente dependientes por separado.