Hay una rama de las Matemáticas que se conecta el Cálculo y la Matemática Discreta / Teoría de los números?

Question

Estoy haciendo esta pregunta, tanto de la curiosidad y la frustración. Hay muchos problemas en ciencias de la computación que requieren realizar operaciones sobre un conjunto finito de números. Siempre me molesta que no hay ninguna forma de asignación de este discreto problema en un proceso continuo y utilización de la potencia de cálculo para resolver finalmente la extracción de la respuesta de la original discretos problema.

No es esto posible? Si es así, hay una rama de las matemáticas que se ocupa precisamente de esto? Estamos confinados a la solución de tales problemas sólo por el pensamiento de ingeniosas técnicas algorítmicas?

Gracias por tomarse el tiempo para responder, y como siempre, le pido disculpas si la pregunta es tonta.

Answer 1

La rama de las matemáticas que se conecta el cálculo y la combinatoria se llama la teoría de funciones de generación, o más evocatively analítica de la combinatoria. Esta teoría se utiliza a menudo para encontrar asymptotics de la combinatoria de las secuencias, tal como podría ocurrir en el análisis del tiempo de ejecución de algún algoritmo. Aquí es un libro de texto libre sobre ella.

La rama de las matemáticas que se conecta el cálculo y la teoría de números se llama la teoría analítica de números.

Answer 2

Esto es ciertamente posible. Aquí es un ejemplo concreto que parece adaptarse perfectamente a la descripción de la "asignación de este discreto problema en un proceso continuo y utilización de la potencia de cálculo para resolver finalmente la extracción de la respuesta de la original discretos problema".

El número de Ramsey $r(3, n)$ se define para ser la menos natural $$ N con la propiedad de que entre cualquier $$ N de la gente hay siempre tres, todos de los cuales conocemos el uno al otro, o de $n$, ninguno de los cuales conocemos el uno al otro. Esto es puramente discreta consideración.

Ahora el asintótica orden de los $r(3, n)$ es $\frac{n^2}{\log n}$ y el límite superior de la prueba de la siguiente manera fácilmente a partir de una teoría de grafos hecho de que es esencialmente demostrado por el estudio de las propiedades analíticas de una cierta función real.

Sin embargo, la prueba es un poco de una acumulación de pequeños accidentes afortunados, pero es perfectamente accesible si sabe el análisis básico y básico de la teoría de grafos. Usted puede encontrar una buena exposición aquí https://www.dpmms.cam.ac.uk/~dc340/RamseyLecture3.pdf

Answer 3

El cálculo puede ser usado ocasionalmente en extremal combinatoria con el fin de encontrar una maximización o minimización de solución a un problema. La única diferencia es que uno debe restringir aquellas soluciones con el fin de obtener una discreta respuesta, en lugar de tomar cualquier solución real que usted puede encontrar en el cálculo.

Answer 4

Ver el libro de Hormigón Matemáticas por Graham, Knuth, y Patashnik (http://www.amazon.com/Concrete-Mathematics-Foundation-Computer-Science/dp/0201558025) para una maravillosa exposición de las conexiones entre Continuo y discreto de las matemáticas, como la teoría de los números.