Centro de masa con dos funciones

Question

Estoy teniendo problemas tratando de encontrar la manera de ir sobre este problema. Puedo hacer problemas con variables individuales pero no puedo solucionar esto. Creo que necesito restar las funciones de uno a otro pero no estoy seguro de que debe restarse de que. Si alguien puede ayudarme con consejos o soluciones de sería mucho apreció. Gracias.

Answer 1

La fórmula para el Centroide

$$f(x) = 9cos(x) ; g(x) = 9sin(x)$$

$$\bar x =\dfrac{ \int_0^{\frac{{\pi}}{4}} x(f(x)-g(x)) dx}{\int_0^{\frac{{\pi}}{4}} (f(x)-g(x))dx}$$

$$\bar y= \dfrac{ \int_0^{\frac{{\pi}}{4}} \frac{(f(x)+g(x))}{2}(f(x)-g(x)) dx}{\int_0^{\frac{{\pi}}{4}}(f(x)-g(x))dx}$$

Para más detalles:

Denominador = $$9\int_0^{\frac{{\pi}}{4}}(cos(x) -sin(x)) dx = 9.(2).\frac{1}{\sqrt{2}}-9 = 9.\sqrt{2}-9$$

Numerador de $$\bar x = 9\int_0^{\frac{{\pi}}{4}}(xcos(x) -xsin(x)) dx$$

Evaluar la integral integración por partes. Voy a mostrar el ejemplo de uno de ellos:

$$\int_0^{\frac{{\pi}}{4}}xcos(x)dx $$

Poner u = x, dv = cos(x)dx => du = dx y v = sen(x)

$$\int_0^{\frac{{\pi}}{4}} udv = uv -\int_0^{\frac{{\pi}}{4}}vdu = [xsin(x) +cos(x)] |\frac{\pi}{4},0$$

Del mismo modo Poner Poner u = x, dv = sinxdx => du = dx y v = -cos(x) $$\int_0^{\frac{{\pi}}{4}} udv = uv -\int_0^{\frac{{\pi}}{4}}vdu = [-xcos(x) +sin(x)] |\frac{\pi}{4},0$$ Por lo tanto el numerador $$= 9*[xsin(x) +cos(x) - [-xcos(x) +sin(x)]]= x(sin(x) + cos(x)) + cos(x) - sin(x) = 9(\frac{\pi}{4}.\sqrt{2}-1)$$

$$\bar x = \dfrac{9\frac{\pi}{4}\sqrt{2} -9}{9\sqrt{2}-9}$$

Para el $\bar y$ Numerador = $$\int_0^{\frac{{\pi}}{4}} \frac{81}{2} [cos(x) - sin(x)][cos(x) + sin(x)]$$

$$\int_0^{\frac{{\pi}}{4}} \frac{81}{2}[cos^{2}(x) - sin^{2}(x)] $$ $$\int_0^{\frac{{\pi}}{4}} \frac{81}{2}cos(2x) = \frac{81}{2} \frac{sin(2x)}{2}$$ $$\bar y =\frac{81}{4}.1$$

$$\bar y = \frac{81}{4}$$

Centroide = $$(\bar x, \bar y) = (\dfrac{9\frac{\pi}{4}\sqrt{2}-9}{9\sqrt{2}-9}, {\frac{81}{4(9\sqrt{2}-9)}})$$

Gracias

Satish