Tangente a la doble curva.

Question

Deje $C$ ser un suave proyectiva del plano de la curva, vamos a $P \in C(k)$, y deje $\ell$ el valor de la tangente a$C$$P$. Deje $C^*$ denotar la doble curva de a $C$, en el doble plano de la $(\mathbb{P}^2)^*$ (el plano que se parametrice líneas en $\mathbb{P}^2$).Deje $P^*$ el valor de la línea en $(\mathbb{P}^2)^*$ que parametriza las líneas de pasar por el punto de $P$. Tenga en cuenta que (por definición de $C^*$), la línea de $\ell$ corresponde a ta el punto de $C^*$.

Mi pregunta es, es $P^*$ la línea tangente a $C^*$ en su punto de $\ell$? Soy capaz de comprobar que la respuesta es sí, en el caso de una cónica, pero no sé cómo demostrarlo en general.

Answer 1

De Gelfand, Kapranov & Zelevinsky: Discriminantes, como resultado y multidimensional de los factores determinantes.

Un local ecuación paramétrica de $C$ tiene la forma $x=x(t), y=y(t)$ donde $t$ es un local de coordenadas en $C$ $x(t), y(t)$ son funciones analíticas. Por definición, la doble curva de $C^{\vee}$ tiene la parametrización $p=p(t), q=q(t)$ donde $p(t)x+q(t)y+1=0$ es afín a la ecuación de la línea tangente a $C$$(x(t),y(t))$. Por lo tanto la representación paramétrica de $C^{\vee}$ tiene la forma $p(t)=\frac{-y'(t)}{x'(t)y(t)-x(t)y'(t)}, q(t)=\frac{x'(t)}{x'(t)y(t)-x(t)y'(t)}$.

Esto se puede aplicar a dar biduality para las curvas planas. Mi punto es, la ecuación de la recta tangente a $px+qy+1=0$ se puede leer en ambos sentidos, como la tangente de la línea de $C$ e de $C^{\vee}$.