Especial privilegio disfrutado por Curvas Elípticas con Complejo de la Multiplicación

Question

Creo que después de leer el título, uno puede entender la intención de mí, esta pregunta está preocupado acerca de las curvas Elípticas con una Compleja Multiplicación.

He estado leyendo muchos de los teoremas, ( celebrado papeles de Zagier y Kolyvagin ). En la mayoría, gran parte de las pruebas a las que me encontré, considera Curvas Elípticas con Complejo de la Multiplicación. Y muchos de los resultados se han descubierto en esa dirección. Yo sé lo que se entiende por Complejo de la Multiplicación y la endomorfismo de los anillos. Pero si alguien le pregunta por la razón detrás de este privilegio disfrutado por las curvas elípticas con CM ( Complejo de Multiplicación ), ¿qué son exactamente las cosas que uno puede decir ?

Para poner de otra manera, ¿cómo es que las pruebas son descubiertos sobre curvas Elípticas con CM se descubren tan fácilmente y por qué no, para el otro caso ? ( Hay algunos a vista de pájaro ? )

Gracias.

Answer 1

Nunca he sabido realmente la respuesta a esta pregunta. Tiene que haber sido una motivación para ello. Todo lo que puedo pensar es que teniendo CM, el entramado asociada a la curva (si trabaja en $\mathbb{C}$) tiene más de simetría, de modo que la geometría dicta mucho más hacia la aritmética.

Tan sólo estoy estudiando estas cosas a mí mismo así que no soy experto. El principal uso de la CM, que yo sepa (pero nunca he leído mucho) es que, dado un campo de número de $K$, puede utilizar una curva elíptica con CM por $\mathfrak{O}_K$ para obtener el Hilbert campo de la clase de $K$, simplemente contigua a la $j$-invariante de la curva de a $K$. Conocer los Hilbert campo de la clase es algo muy poderoso...por ejemplo lo que nos dice grandes cosas acerca de las representaciones de los números primos por la formas cuadráticas binarias.

Por ejemplo, para ciertos $n$ (es decir, aquellos que son cuadrados libres y no $3$ mod $4$) podemos estudiar cuando un prime $p$ puede ser escrito como $x^2+ny^2$ para los números enteros $x,y$. Ahora algebraicamente esto es igual a $p$ partiendo, en primer director ideales, en el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\sqrt{−n}]$ del campo de número de $\mathbb{Q}(\sqrt{−n})$. Ahora la parte principal aquí es importante ya que cuando se involucran los Hilbert campo de la clase, esto es lo mismo que decir que el ideal se divide por completo en este campo. Por lo $p$ puede ser escrita en esta forma iff $p$ se divide completamente en el Hilbert campo de la clase de $Q(\sqrt{n})$

Pero como acabo de decir, usted puede obtener este Hilbert campo de clase mediante la búsqueda de una curva elíptica con CM por $\mathbb{Z}[\sqrt{−n}]$ y junto a su $j$-invariante a $\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$. Así que en realidad, una vez que esto se ha logrado, el polinomio mínimo $f(x)$ de la $j$-invariante en el $\mathbb{Q}$ da un criterio para la posible $p$'s que puede ser escrito como $x^2+ny^2$ (para los $n$'s hemos restringido).

Básicamente (por $p$ no dividiendo $n$ o el discriminante de $f(x)$):

$p = x^2 + ny^2$ si y sólo si $\left(\frac{-n}{p}\right) = 1$ $f(x) \equiv 0$ mod $p$ tiene una solución.