Cuadro de normalización

Question

Cuando estudiamos los campos libres, las soluciones de estos campos (o partículas, lo que se siente más cómodo) se da siempre por ondas planas. La dispersión de relación $\omega=\omega(k)$ dependerá, naturalmente, de su tipo de sistema (pero vamos a ignorar esto por el momento).

De hecho voy a buscar en la totalidad de la cosa no-relativista (no es que sea necesario).

Si queremos resolver la ecuación (permítanme indicar la ecuación por un operador $L$):$$L\psi(\vec{r},t)=0,$$where $\psi(\vec{r},t)$ is the quantum-field and $L$ es algún tipo de onda de la ecuación para el campo libre. Entonces somos capaces de resolver el anterior eqation mediante la cumplimentación de la transformada de Fourier de la expansión del campo libre: $$\psi(\vec{r},t)=\sum_\vec{k}\psi(\vec{k})\exp\left(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega(\vec{k})t)\right),$$ with $\psi(\vec{k})$ los diferentes Fourier-coëfficiënts.

Ya que queremos que nuestros mecánica cuántica función de onda para ser normalizada (más fácil para perturbaton-teoría), imponemos la normalización como: $$1=\int\text{d}^3\vec{r}\left(\psi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)\right).$$ Si nos fijamos en el espacio libre (para un infinito vacío), las ondas planas son no normalizable. Que es por supuesto un problema.

Con el fin de ser capaz de normalizar el plano de onda limitamos nuestro sistema a una caja con un volumen finito $V$ que nos llevan a ser infinito en el final de los cálculos (o por lo general uno desde $V$ tiende a caer por todas partes). Este cuadro se elige de modo que es cuadrado y tiene cara $L$. Ahora simplemente la imposición de un cuadro de no hacer, que, por supuesto, la necesidad de condiciones de frontera. Con el fin de preservar el impulso que nos imponen periódico de las condiciones de contorno en este cuadro de $$\psi(x+L,y,z,t)=\psi(x,y,z,t),$$ $$\psi(x,y+L,z,t)=\psi(x,y,z,t),$$ $$\psi(x,y,z+L,t)=\psi(x,y,z,t),$$ lo que conduce a una cuantización en el momenta.

Con esta caja-normalización somos capaces de normalizar la función de onda y seguir nuestros cálculos. Ahora mi pregunta es la siguiente:

Preguntas:

1. ¿Por qué siempre asumimos un cuadrado a la hora de imponer el cuadro de la normalización?
2. Hace esto con los mismos resultados como una caja rectangular, donde los diferentes lados $L_1$, $L_2$ y $L_3$ no son iguales?
3. O debemos imponer que todos los lados $L_1$, $L_2$ y $L_3$ son iguales en aras de la homogeneidad e isotropía del espacio libre ?

Nota: atengámonos a coordenadas Cartesianas para el bien de la simplicidad. El hecho de que la caja podría convertirse en una esfera en coordenadas esféricas y un cilindro en coordenadas cilíndricas es claro para mí.

Answer 1

1. Asumimos una caja cuadrada, ya que simplifica el argumento.
2. Sí, en el límite de $L_1, L_2, L_3 \to \infty$ esto es equivalente a un cuadrado en el límite de $L \to \infty$ (no podemos medir la diferencia entre los infinitos). También, en el límite de $L \to \infty$ el cuantificada momenta finalmente cubrirá todos impulso espacio, haciendo la distinción innecesaria. (Para el caso de la física del estado sólido, donde este límite no puede ser tomado, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Landau_quantization).
3. No, la introducción de una caja rompe la homogeneidad y la isotropía de todos modos. Esto no es malo, aunque, desde siempre tomamos el límite de $L \to \infty$ que restaura estos principios. Esto también puede ser visto en el hecho de que los resultados son sólo depende del volumen de la caja.