La confusión acerca de la Mentira derivado de la métrica

Question

De acuerdo a este sitio, la Mentira derivado de una $(0,2)$-tensor es $$ \mathcal{L}_XT_{ab}=\partial_XT_{ab}+T_{cb}\partial_aX^c+T_{ac}\partial_bX^c $$

Sin embargo, según el mismo sitio web, la Mentira derivados de la métrica es $$ \mathcal{L}_Xg_{ab}=\nabla_Xg_{ab}+g_{cb}\nabla_aX^c+g_{ac}\nabla_bX^c $$

y si la conexión es la métrica compatible, el primer término se desvanecen.

Mi pregunta es, ¿por qué cambiamos $\partial$ a $\nabla$ aquí? De hecho, en una nota, veo dos expresiones para la Mentira derivados de la métrica. Son realmente equivalentes?

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Actualización:

Me trató de ampliar la segunda ecuación, y resulta que de hecho es el primero. De hecho, $$ \begin{align} &\nabla_Xg_{ab}+g_{cb}\nabla_aX^c+g_{ac}\nabla_bX^c\\ =&X^c(\partial_cg_{ab}-\Gamma^{d}_{ac}g_{db}-\Gamma^d_{cb}g_{ad})+g_{cb}\partial_aX^c+g_{ac}\partial_bX^c+g_{cb}\Gamma^{c}_{ad}X^d+g_{ac}\Gamma^c_{ad}X^d\\ =&\partial_XT_{ab}+T_{cb}\partial_aX^c+T_{ac}\partial_bX^c \end{align} $$

Todas las $\Gamma$'s cancelar. Pero ahora mi pregunta es, es cierto en general que cuando la expansión $\mathcal{L}_XT$ para algunos tensor $T$, se puede utilizar cualquiera de los derivada parcial o covarient derivados?

Answer 1

Esta es la primera vez que me enfrento a este problema, creo que la respuesta es positiva siempre que la conexión es de torsión libre como, de hecho, pasa por la de Levi-Civita de conexión asociados con una métrica. Aquí está mi prueba.

Deje que nos indican la Mentira derivado con respecto al campo de vectores $Z$${\cal L}_Z$. La acción en el tensor de campos está totalmente determinado por los siguientes requisitos.

[0] ${\cal L}_Z(X) = [Z,X]$.

[1] Es trivialmente actúa en campos escalares: ${\cal L}_Z f = Z(f)$.

[2] Se conmuta con las contracciones: ${\cal L}_Z(\langle X, \omega \rangle) = \langle {\cal L}_Z(X), \omega \rangle + \langle X, {\cal L}_Z(\omega) \rangle$.

[3] actúa como un derivado con respecto al tensor de producto: ${\cal L}_Z (T\otimes U) = ({\cal L}_Z(T) )\otimes U + T \otimes {\cal L}_Z(U)$.

Los requisitos [0] y [2] completamente definir las acciones en covariante campos vectoriales en términos de la acción de campos vectoriales en campos escalares (componentes de covariante campos): $${\cal L}_Z(\omega) = \langle \partial_{x^a}, {\cal L}_Z(\omega) \rangle dx^a = Z(\langle \partial_{x^a}, \omega\rangle ) dx^a - \langle Z(\partial_{x^a}), \omega\rangle dx^a = Z(\omega_a) dx^a - \langle [Z, \partial_{x^a}], \omega \rangle dx^a\:,$$ es decir, $${\cal L}_Z(\omega)_a = Z(\omega_a) - \langle [Z, \partial_{x^a}], dx^b \rangle \omega_b\:. \tag{1}$$

A partir de la definición de torsión tenemos que, si $\nabla$ es una torsión de conexión, a continuación, $$[Z,X] = \nabla_Z X - \nabla_X Z$$
ya que la torsión no es sino la diferencia de los dos lados. Desde [0] llegamos a la conclusión de que $${\cal L}_Z(X) = \nabla_Z X - \nabla_X Z\:, \tag{2}$$ o, en los componentes de: $$({\cal L}_Z(X))^a = (Z^b\nabla_b X)^a - (\nabla_b Z)^aX^b\:,$$ y esta identidad sólo se dice que, en torsiones connctions, podemos sustituir los derivados de covariante, al cálculo de la Mentira derivados de contravariante de campos vectoriales.

Pasemos a covariante campos vectoriales. A partir de (1) y (2) tenemos que $${\cal L}_Z(\omega)_a = \nabla_Z(\omega_a) - \langle \nabla_Z( \partial_{x^a}), dx^b \rangle \omega_b + \langle \nabla_{\partial_{x^a}}(Z), dx^b \rangle \omega_b\:,$$ que es $${\cal L}_Z(\omega)_a = (Z^b\nabla_b\omega)_a + \langle \nabla_{a}(Z), dx^b \rangle \omega_b\:,$$ es decir, $${\cal L}_Z(\omega)_a = (Z^b\nabla_b\omega)_a + (\nabla_{a}Z)^b\omega_b\:,$$ y esta identidad sólo se dice que, en torsiones connctions, podemos sustituir los derivados de covariante, al cálculo de la Mentira derivada covariante de campos vectoriales.

Desde genérico tensor de campos puede ser construido como una combinación lineal de tensor de productos de contravariante y covariante campos vectoriales, a partir de [3] los resultados encontrados pueden ser fácilmente generalizado a todo tipo de tensor de campos. En el cálculo de la Mentira derivado de un campo tensorial siempre podemos reemplazar el estándar derivado de la covariante uno en cada lugar siempre que la conexión es de torsión libre.

Answer 2

Para cualquier campo vectorial $X$, $\nabla_X$ es una derivación del tensor de álgebra y por lo tanto puede ser descompuesto como $$ \nabla_X = \mathcal L_Y + S $$ para algunas campo de vectores $Y$ y un endomorfismo $S$ del espacio de la tangente (véase, por ejemplo Kobayashi/Nomizu, la proposición 3.3).

Para una función de $f$, tenemos $$ \nabla_X f = \mathcal L_X f $$ y por lo tanto $Y=X$.

Dado un campo vectorial arbitrario $Z$, por definición de torsión $$ \nabla_X Z = \mathcal L_X Z + \nabla_Z X + T(X,Z) $$ En caso de torsión libre de conexiones, esto produce $$ S: Z \mapsto \nabla_Z X $$ es decir $$ \mathcal L_X = \nabla_X - \nabla_{(\cdot)} X $$ Como $\partial$ es sólo una conexión local en la coordenada parche, esta realidad, los rendimientos coordinar las expresiones mencionadas en la pregunta.

Tenga en cuenta que en el caso de los tensores covariantes, el signo positivo es debido al hecho de que covectors necesidad de transformar con la negativa de la transposición de la endomorfismo (véase, por ejemplo Kobayashi/Nomizu, la proposición 2.13).