$$ PV \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}(x^2-1)} $$
Un ojo de la cerradura de contorno no puede ser utilizado debido a que tenemos un polo en el eje real positivo, ¿no?
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Anthony Shaw
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Hacen que la rama de corte para $\sqrt{z}$ a lo largo del eje real positivo.
La integral sobre la totalidad de la curva cerrada es $2\pi i$ veces el residuo en $z=-1$: $$ \begin{align} \oint\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{z}(z^2-1)} &=\oint\frac1{2\sqrt{z}}\left(\frac1{z-1}-\frac1{z+1}\right)\,\mathrm{d}z\\ &=2\pi i\cdot\frac i2\\[9pt] &=-\pi\tag{1} \end{align} $$ La integral a lo largo de los círculos grises se desvanece como el pequeño se encoge y el gran crece.
A medida que se reduce, la integral a lo largo de la parte superior del semicírculo rojo es $-\pi i$ veces el residuo en la mitad superior del plano en $z=1$; es decir, $\sqrt{1}=1$: $$ -\pi i\cdot\frac12\etiqueta{2} $$ A medida que se reduce, la integral a lo largo de la parte inferior semicírculo rojo es $-\pi i$ veces el residuo en la mitad inferior del avión en $z=1$; es decir, $\sqrt{1}=-1$: $$ -\pi i\cdot-\frac12\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, la integral sobre los dos semicírculos rojos cancelar.
La integral sobre la parte superior perforada línea $$ \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x^2-1)}\etiqueta{4} $$ La integral sobre la baja de la línea perforada es en la dirección opuesta, sino $\sqrt{z}=-\sqrt{x}$, por lo que también es. $$ \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x^2-1)}\etiqueta{5} $$ La combinación de estos da $$ 2\,\mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x^2-1)}=-\pi\etiqueta{6} $$ Por lo tanto, $$ \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x^2-1)}=-\frac\pi2\etiqueta{7} $$
Dr. MV
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Si interpretamos la integral como el Principal Valor de la integral
$$\begin{align} I&=\text{PV}\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^{1/2}(x^2-1)}\\\\ & =\lim_{\epsilon\to 0}\left(\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{x^{1/2}(x^2-1)}+\int_{{1+\epsilon}}^{\infty}\frac{dx}{x^{1/2}(x^2-1)}\right) \end{align}$$
entonces podemos evaluar $I$ usando el contorno de la integración.
Vamos a analizar la integral
$$\oint_C \frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}$$
donde $C$ es el "ojo de la cerradura" de contorno compuesto de $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5, C_6$, y $C_7$ donde
$C_1$ es la integral a lo largo del eje real de $(0,0)$ $(1-\epsilon,0)$arriba de la rama de corte en el eje real
$C_2$ es la integral a lo largo de la semi-círculo de $z=1+\epsilon e^{i\theta}$, por encima de la rama de corte, donde $\theta$ comienza a $\pi$ y termina a las $0$
$C_3$ es la integral a lo largo del eje real de $(1+\epsilon,0)$ $(R,0)$arriba de la rama de corte en el eje real
$C_4$ es la integral a lo largo del círculo $|z|=R$ $(R,0)$ justo por encima de la rama cortada a $(R,0)$ justo debajo de la rama de corte
$C_5$ es la integral a lo largo del eje real de $(R,0)$ $(1+\epsilon,0)$por debajo de la rama de corte en el eje real
$C_6$ es la integral a lo largo de la semi-círculo de $z=1+\epsilon e^{i\theta}$, por debajo de la rama de corte, donde $\theta$ comienza a $0$ y termina a las $-\pi$
$C_7$ es la integral a lo largo del eje real de $(1-\epsilon,0)$ $(0,0)$por debajo de la rama de corte en el eje real
Hay un ocho de los componentes de la integral de contorno que rodean el punto de rama, sino en cuanto esta integral es trivialmente contribuir cero, lo que tácitamente se omite en el presente documento.
Tenga en cuenta que la integral de interés $I$ está dado por
$$I=\lim_{R\to \infty}\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_1+C_3}\frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}$$
y
$$I=\lim_{R\to \infty}\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_5+C_7}\frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}$$
desde debajo de la rama cortada $\sqrt{z}=-\sqrt{x}$.
Además tenga en cuenta que la integral sobre la $C_4$ desvanece como $R\to \infty$.
Ahora evaluar las integrales sobre $C_2$$C_6$. Estos son
$$\begin{align} \int_{C_4}\frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}&=\int_{\pi}^0\frac{i\epsilon e^{i\theta}}{(1+\epsilon e^{i\theta})^{1/2}(\epsilon e^{i\theta})(2+\epsilon e^{i\theta})}d\theta\\\\ &\to -i\pi/2 \,\,\text{as}\,\,\epsilon \to 0 \end{align}$$
y
$$\begin{align} \int_{C_6}\frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}&=\int_{0}^{-\pi}\frac{i\epsilon e^{i\theta}}{\left(e^{i2\pi}(1+\epsilon e^{i\theta})\right)^{1/2}(e^{i2\pi}\epsilon e^{i\theta})(1+e^{i2\pi}(1+\epsilon e^{i\theta}))}d\theta\\\\ &\to i\pi/2 \,\,\text{as}\,\,\epsilon \to 0 \end{align}$$
Por lo tanto,
$$\lim_{\epsilon\to 0}\int_{C_2+C_4}\frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}=0$$
Por lo tanto, poner a todos juntos hemos
$$\begin{align} 2I&=\lim_{R\to \infty}\lim_{\epsilon\to 0}\oint_C \frac{dz}{z^{1/2}(z^2-1)}\\\\ &=2\pi i \text{Res}\left(\frac{1}{z^{1/2}(z^2-1)}, z=-1\right) \\\\ &=2\pi i \frac{1}{-2i}\\\\ &=-\pi\\\\ I&=-\pi/2 \end{align}$$
Puede utilizar una deformado ojo de la cerradura de contorno proporcionando una semicircular desvío de radio $\epsilon$ a lo largo de cada rama. A continuación, considere la posibilidad de
$$\oint_C dz \frac{z^{-1/2}}{z^2-1} $$
donde $C$ es la deformación del ojo de la cerradura de contorno. Por lo tanto, el contorno de la integral es igual a
$$\int_{\epsilon}^{1-\epsilon} dx \frac{x^{-1/2}}{x^2-1} + i \epsilon \int_{\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{(1+\epsilon e^{i \phi})^{-1/2}}{(1+\epsilon e^{i \phi})^2-1}+\int_{1+\epsilon}^R dx \frac{x^{-1/2}}{x^2-1} \\ +i R \int_0^{2 \pi} d\theta \, e^{i \theta} \frac{(1+R e^{i \theta})^{-1/2}}{(1+R e^{i \theta})^2-1} + e^{-i \pi} \int_R^{1+\epsilon} dx \frac{x^{-1/2}}{x^2-1} \\ + i \epsilon \int_{2 \pi}^{\pi} d\phi \, e^{i \phi} \frac{(e^{i 2 \pi}+\epsilon e^{i \phi})^{-1/2}}{(e^{i 2 \pi}+\epsilon e^{i \phi})^2-1} + e^{-i \pi} \int_{1-\epsilon}^{\epsilon} dx \frac{x^{-1/2}}{x^2-1} + i \epsilon \int_{2 \pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{\epsilon^{-1/2} e^{-i \phi/2}}{\epsilon^2 e^{i 2 \phi}-1}$$
Tenga en cuenta que hay ocho secciones para el contorno. Tomamos los límites de $R \to \infty$$\epsilon \to 0$. Como $R \to \infty$, el cuarto integral se desvanece. Como $\epsilon \to 0$, el octavo integral se desvanece. Además, la segunda integral es $-i \pi/2$ mientras que en el sexto integral es $i \pi/2$. El primer, tercer, quinto y séptimo integrales suma a dos veces el principal valor de la integral original. Por lo tanto, el contorno de la integral es igual, en estos límites,
$$2 PV \int_0^{\infty} dx \frac{x^{-1/2}}{x^2-1} $$
El contorno de la integral es también igual a $i 2 \pi$ veces el residuo de el integrando en el polo $z=e^{i \pi}$, por lo que
$$PV \int_0^{\infty} dx \frac{x^{-1/2}}{x^2-1} = i \pi \frac{e^{-i \pi/2}}{2 (-1)}= -\frac{\pi}{2}$$
FrodCube
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421
Si establece $y=\sqrt{x}$ usted tiene:
$$\int_0^\infty\frac{2ydy}{y(y^4-1)}=2\int_0^\infty\frac{dy}{y^4-1}$$
Dado que usted es la integración de una función par se puede escribir como:
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{dy}{y^4-1}=\int_{-\infty}^\infty\frac{dy}{(y-1)(y+1)(y-i)(y+i)}$$
Ahora usted puede utilizar fácilmente el contorno de integración para obtener:
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{dy}{y^4-1}=2i\pi \lim_{y\to i}\frac{y-i}{y^4-1}=-\frac{\pi}{2}$$
El uso de Sokhotsky-Plemelj teorema dos veces para obtener el valor del capital:
$$\int \frac{f(z)}{(z-z_0)+i\epsilon}dz+i\pi f(z_0)=P\int \frac{f(z)}{(z-z_0)}dz $$
donde $z_0=\pm i$. Así que usted debe tener:
$$\int_0^\infty\frac{dx}{\sqrt{x}(x^2-1)}=\frac{\pi}{2}+i\pi\left(-\frac{i}{4} + \frac{i}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Por favor, dime si he cometido algunos errores (probable)
