¿Por qué es $\frac{\operatorname dy'}{\operatorname dy}$ cero, ya que $y'$ depende de $y$?

Question

Sé que $\frac{dy'(x)}{dy}=0$ (donde $y'=\frac{dy(x)}{dx}$). La razón, explicó, es que $y'$, que no depende explícitamente en $y$. Pero, intuitivamente, $y'$ depende de $y$, ya que si te varían $y$ modificará $y'$. ¿Por qué es mi razonamiento equivocado (mi razonamiento suena relacionados con la funcional de cálculo, en lugar de la estándar de cálculo)?

Traté de escribir $\frac{dy'(x)}{dy}=\frac{d}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dy}=\frac{d}{dx}1=0$, pero esta prueba no me convence.

Creo que otra manera de ver esto es decir que si una función es de la forma $f(y)$, que no dependend en la variable $y'$. Pero de la misma manera que usted escriba $f(y)=y^2$, se puede escribir $f(y)=\frac{d}{dx}y$, lo que depende claramente de $y'$. Así que no sé si hay algunos tipos de operaciones que son restringidas (por ejemplo, la adopción de límites):

Nota: El problema que se plantea en el contexto de la Mecánica Clásica, donde: $\frac{\partial L(\dot{x},t)}{\partial x}=0$.

Answer 1

1. Como matemático, cuando veo $$ \frac{dy'(t)}{dy} $$ Creo que la definición es más natural $$ \frac{d\frac{dy}{dt}}{dy} = \frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt}{dy} $$ lo que decididamente no es (normalmente) a cero.

2. Podemos imaginar un sistema dinámico de modelado de una partícula en una línea con tres coordenadas, el modelado de cada una de las potenciales "estado" la partícula tiene, donde un "estado" es su posición actual y la velocidad de la corriente. Así que las variables se denominan "v, x, y, t".

Por ejemplo, si en el momento 0, la partícula es de 3 metros hacia el oeste del origen y moviéndose hacia el este a 4 metros por segundo, sus coordenadas son $t = 0, v = 3, x = 4$.

En este sistema hay una invariante de la partícula que no dependen de su ubicación, pero no dependen de su velocidad y en qué hora es. Si llamamos un invariante $L$, entonces es claro que $\frac{\partial L(v, t)}{\partial x} = 0$.

Me imagino que algo como esto (posiblemente en mayor dimensión), es lo que la anotación se refiere.

Answer 2

OP de la pregunta es una pregunta frecuente cuando se intenta aprender la Mecánica de Lagrange. Es esencialmente la misma pregunta como esta Phys.SE post.

Usuario zyx la respuesta es exactamente correcto. En el Lagrangiano $L(x, \dot{x},t)$, los tres argumentos $x$, $\dot{x}$, y $t$ son independientes de las variables. Menos confuso notación sería $L(x,v,t)$.

El punto principal es que, por un instante dado $t_0$, el Lagrangiano $L(x_0,v_0,t_0)$ es una función de estado que describe el sistema en ese mismo instante, no en el futuro $t>t_0$, ni el pasado $t<t_0$. El Lagrangiano $L(x_0,v_0,t_0)$ sólo depende de la posición instantánea $x_0$, dependiendo de la velocidad instantánea $v_0$, y posiblemente de forma explícita en el instante en que $t_0$.

Puesto que la ecuación de Lagrange es un 2º-el fin de la educación a distancia, es posible elegir dos independientes de las condiciones iniciales $x(t_0)=x_0$$v(t_0)=v_0$. Así, la instantánea de la posición $x_0$ y la velocidad instantánea $v_0$ son independientes el uno del otro.

Para obtener más información, y la relación con el principio de acción estacionaria, ver, por ejemplo, este Phys.SE la respuesta.

Answer 3

En la mecánica clásica de las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias, normalmente de orden $2$, $x'' = F(x,x')$, donde $x$ es un vector en $n$ dimensiones.

Aquí $x$ $x'$ no son más que etiquetas para dos variables independientes, ambos de los cuales se $n$-componente de los vectores. Sólo están las coordenadas de una $n+n$ dimensiones del espacio, y que podría haber sido nombrado $a$$b$. Las soluciones a la ecuación diferencial son caminos, parametrizada por el tiempo, así que $x = a(t), x'=b(t)$ seguir un campo de vectores en este espacio que está configurado para codificar las ecuaciones de movimiento.

En el espacio de fase ($2n$- dimensiones del espacio que acabamos de describir), las funciones de $a$ $b$ (lo siento, $x$$x'$) son independientes. Son definidos por $a(r,s)=r$ $b(u,g)=g$ donde la notación ha sido elegido de manera perversa para hacer un punto que esto no es más que la contabilidad de las variables.

En una vía de solución de las ecuaciones de movimiento, $x$$x'$, por lo cual me refiero a la restricción de las funciones de $a$ $b$ a la ruta de acceso (haciendo caso omiso de sus valores en el resto de la $2n$-dimensiones del espacio), ciertamente no son independientes. El camino es unidimensional y (en la mayoría de las veces, para intervalos cortos de tiempo) una función típica de la moción como $x$, $x'$, o $x^3 + e^{x'}$, por lo general, contienen la misma información como $x$ o $x'$ o de la combinación de $(x,x')$. Cualquiera de estos datos puede calcularse a partir de cualquier otro.

El vector de campo ha sido configurada de tal forma que en la vía de solución, $\large \frac{d}{dt}$ que se aplica a $x(t)$ da $x'(t)$, por lo que las etiquetas no eran tan arbitrario como el representado anteriormente.

La notación $\large \frac{dx'}{dx}$, leer como la diferenciación de $x'$ como una función en el espacio de fase en el $x$ dirección es $0$. Es el $n \times n$ cero de la matriz, no el número de $0$ si $x$ tiene más de un componente.

La notación $\large \frac{dx'}{dx}$, leer como un cálculo en una vía de solución, es $x''(t)/x'(t)$ o de la $n$-dimensiones analógica con matrices (que es el $1\times 1$ matriz que los mapas de $ux'(t)$ $ux''(t)$para todos los escalares $u$), y esto no es $0$.

Answer 4

Nota primero que $\frac{\partial L(\dot{x},t)}{dx}$ no es lo mismo que $\frac{dy'}{dy}$.

Pero, por el bien del argumento, supongamos que en la representación simbólica de $L$ usted obtener algún término como $4\dot{x}$ o algo similar.

Para determinar por qué se $\frac{d\dot{x}}{dx}$ sería igual a cero, tenemos que ver cuál es la definición de un derivado.

Para ser honesto, un derivado no se trata de examinar si algo que "depende" de manera intuitiva en algo. Que un casual noción se utiliza para enseñar el concepto de la primera hora del cálculo de los estudiantes. Más bien, la derivada es bastante explícitamente definida como el límite de una diferencia de dos valores de la función como el cambio en su argumento se pone arbitrariamente pequeño, o, $f'(t) = \lim_{h\to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$.

Tenga en cuenta que esta es la definición de la derivada en un punto, a saber,$t$. Este es un poco diferente de la noción de la representación funcional de la derivada, que también podemos escribir como $f'(t)$. Sin embargo, considerando la derivada como una función sólo tiene sentido en los valores de $t$ donde la derivada existe, que puede ser en cualquier lugar, ni en ningún lado, o en algún subconjunto del dominio en que $f(t)$ sí existe.

Dicho esto, la representación funcional de la derivada no dependen en $f$, sólo en $t$. Los valores que toma sólo dependen de la zona del dominio en el que usted está buscando.

En otras palabras, cambiar el valor de $f$ no inducir a algunas de cambio de la derivada-es totalmente invalida por completo.

$\frac{d x^2}{dx}$ no es un ligero cambio de $\frac{d x^3}{dx}$, obtenido mediante la variación de la función. Es una construcción diferente por completo.

En su caso, tiene la función de $L(\dot{x},t)$ que depende explícitamente de la $\dot{x}$$t$. No hay dependencia $x$ sí, por lo que al forzar un cambio pequeño en el valor de $x$, no cambiamos el valor de $L$. Forzando un pequeño cambio en el $x$ no significa el cambio de $\dot{x}$ en este contexto, debido a que en la definición de la derivada estamos añadiendo un pequeño valor de la variable independiente. Y desde $\frac{d (x+c)}{dt} = \frac{dx}{dt}$, entonces podemos ver que no hay ningún cambio en $\dot{x}$.

(esta es una edición!)

Answer 5

Piense en ello de esta manera. Elija dos puntos de $y_1$ $y_2$ y me dicen $y'$ en cualquiera de estos dos puntos. La respuesta obvia es que $y'$ podría ser cualquier cosa en cualquier momento, por lo que no podemos pensar de $y'$ como una función de la $y$ ( $y' \neq f(y)$ ). Para tomar un derivado, recordemos que dos variables están conectadas en una relación funcional, que es $f(y)$ toma un valor específico en cada punto de $y$. Aunque la función de $y'$ depende en $y$ como una curva a otra, no se depende de ella en un sentido funcional (es decir, únicas en puntos específicos).