Las funciones continuas de Hölder son de 1ª categoría en $C[0,1]$

Question

Intento demostrar que las funciones continuas de Hölder en $[0,1]$ son un conjunto de primera categoría en $C[0,1]$ . ¿Basta con demostrar que no son un subconjunto abierto de $C[0,1]$ ?

Dejemos que $\varepsilon>0$ y $f\in C[0,1]$ sea Hölder. Dado que cada función continua de Hölder es uniformemente continua, ¿basta con demostrar que existe una función no uniformemente continua en la bola $B_{\varepsilon}(f)\subset C[0,1]$ ? ¿Puede construirse dicha función o sólo puedo demostrar su existencia?

Answer 1

Debes demostrar que el conjunto de funciones continuas de Holder es una unión contable de conjuntos densos de ninguna parte en el espacio métrico $C([0,1]).$ Aquí hay un comienzo: Mostrar que $f(x)=x$ puede ser aproximado uniformemente por funciones que no son Lipschitz. Una pista: $\sqrt x$ está muy cerca de $x$ en $[0,b]$ si $b$ es lo suficientemente pequeño.

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Añadido más tarde: Voy a escribir $C$ para $C([0,1])$ y $\|\,\|$ para la norma sup. Sea $H^a$ denotan las funciones continuas de Holder sobre $[0,1]$ de orden $a\in (0,1].$ Tenga en cuenta que si $f \in H^{a_0},$ entonces $f\in H^a$ para $0<a<a_0.$

Teorema: Supongamos que $f\in C,a>0$ y $\epsilon>0.$ Entonces existe $g\in C\setminus H^a$ tal que $\|f-g\|<\epsilon.$

Prueba: Tratemos primero el caso $f(x)=x.$ Para $b>0, b$ pequeño, $0\le x^{a/2}-x \le b^{a/2}, x\in [0,b].$ Elijamos $b$ para que $b^{a/2}<\epsilon.$ Ahora defina $g$ de la siguiente manera:

$$ g(x) = \begin{cases} x^{a/2}, 0 \le x \le b \\ b^{a/2}, b \le x \le b^{a/2}\\ x, b^{a/2}\le x \le 1.\end{cases}$$

Es bueno hacer un dibujo. De manera informal, $g$ se mueve por encima de $x$ en $[0,b],$ pero no por mucho. Entonces $g$ es constante en el siguiente intervalo hasta que llega a $f(x)=x.$ Entonces $g=f$ en el último intervalo. Este $g$ es continua, y la forma en que hemos establecido las cosas da $\|f-g\|<\epsilon.$ Y porque $g(x)=x^{a/2}$ cerca de $0,$ tenemos $g\not \in H^a.$

Para el general $f\in C,$ recordemos que las funciones continuas a trozos son densas en $C.$ Así que basta con demostrar el teorema de la linealidad a trozos $f.$ Pero ahora estamos esencialmente en el caso especial anterior. Después de todo, $f$ comienza como lineal en algún intervalo $[0,\delta].$ En este intervalo, tenemos $f(x) = f(0)+mx$ para algunos $m.$ Diseñar $g$ aquí se parece tanto al caso especial que dejaré este último paso al lector. (Fin de la prueba)

Definamos ahora $E_{m,n} = \{f\in C : |f(y)-f(x)|\le n|y-x|^{1/m},x,y \in [0,1]\}.$ El conjunto de todas las funciones continuas de Holder es entonces $\cup_{m,n \in \mathbb {N}} E_{m,n}.$ Además, cada $E_{m,n}$ está cerrado en $C;$ es un argumento sencillo. El teorema muestra que cada $E_{m,n}$ tiene el interior vacío: $E_{m,n}$ no podía contener un barrio de cualquier $f\in C,$ porque sabemos que podemos aproximar $f$ tan cerca como queramos con funciones $g \in C \setminus E_{m,n}.$ Por lo tanto, el conjunto de funciones Holder es la unión contable de conjuntos densos cerrados en ninguna parte, por lo que es de la primera categoría en $C.$

Answer 2

Existe una versión del teorema de la cartografía abierta (por ejemplo, en la obra de Rudin Análisis funcional ) diciendo que si el rango de un mapa lineal continuo entre espacios de Banach (o incluso de Frechet) es de segunda categoría entonces el mapa es onto (y abierto). Así pues, bastaría con encontrar una norma completa en el espacio de las funciones continuas de H\Nserá tal que la inclusión en $C[0,1]$ es continua.