Cada vez una solución real.

Question

Tengo un ejercicio interesante. Demostrar que para todo entero positivo $a$ y $p(x) = x^2+2013x + 1$ , $\underbrace{p(p(\dots p}_{a \ \ \text{times}}(x)\dots )) = 0$ tiene al menos 1 solución real $x_0$ .

Espero que puedas ayudarme. No tengo ninguna idea para probarlo. Gracias.

Answer 1

Considere las soluciones de $p(x)=x$ esto da, $$x^2+2012x+1=0 \implies x = \frac{-2012-\sqrt{2012^2-4}}{2} , \frac{-2012+\sqrt{2012^2-4}}{2}$$ Dejemos que $$m= \frac{-2012-\sqrt{2012^2-4}}{2} , n= \frac{-2012+\sqrt{2012^2-4}}{2}$$ Tenga en cuenta que, $m<n<0$ .

Ahora dejemos que $f(x)= {}\underbrace{p(p(\ldots(p}_{a\ {\rm times}}(x))\ldots))$ .

Entonces, ten en cuenta que, $f(n)=n<0$

Y, también el término mayor (término con mayor grado) será $x^{2^a}$ con coeficiente positivo. Así que cuando $x \rightarrow \infty, f(x) >0$

Desde $f(x)$ es un polinomio , por lo que debe ser continuo . Y por lo tanto habrá una solución de $f(x)=0$ en el rango $(m,\infty)$ $\Box$

Answer 2

Posiblemente podría mostrar que hay $x_1 < 0$ tal que $p(x_1)=x_1$ . Y hay $x_2 > x_1$ tal que $p(x_2)>0$ . Entonces, para cada natural $a$ :
$$p^{a}(x_1) = x_1 <0$$
y
$$p^{a}(x_2)>0$$

Answer 3

$p(x)$ alcanza su mínimo en $(x_{\min}, y_{\min})$ , donde $x_{\min} = -\frac{2013}{2}$ y $y_{\min} = p(x_{\min}) = x_{\min}^2 + 2013x_{\min} + 1$ . Los valores exactos de $x_{\min}$ y $y_{\min}$ no son importantes; lo importante es que $y_{\min} < x_{\min} < 0$ que puede comprobar usted mismo.

Ahora dejemos que $q(x)$ sea el polinomio $p(x)$ restringido al dominio $[x_{\min},\infty)$ . Así que $q(x)$ se define en el intervalo $[x_{\min},\infty)$ y toma el valor $p(x)$ en ese intervalo. Porque $q(x)$ es monótona creciente, tiene una inversa bien definida en su rango, que es $[y_{\min},\infty)$ y porque $x_{\min} > y_{\min}$ tiene a fortiori una inversa bien definida $q^{-1}(x)$ en $[x_{\min},\infty)$ .

Así que para resolver $\underbrace{p(p(\dots p}_{a-times}(x)\dots )) = 0$ , sólo hay que iterar esta inversa $a$ tiempos a partir de $0$ :

$$x = \underbrace{q^{-1}(q^{-1}(\dots q^{-1}}_{a-times}(0)\dots ))$$