Una forma alternativa de determinar cuándo $\int_{0}^{\infty} \cos(\alpha x) \prod_{m=1}^{n} J_{0}(\beta_{m} x) \, dx =0$

Question

Deje $J_{0}(z)$ ser la función de Bessel de primera especie de orden cero, y se supone que $\alpha$ $\beta_{m}$ son positivas real de los parámetros.

Al $|z|$ es de gran magnitud y $-\pi < \arg(z) < \pi$, $$J_{0}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \cos \left(z-\frac{\pi}{4} \right).$$

Pero si $|z|$ es de gran magnitud y $0 < \arg (z) < \pi$, $\cos(z)$ es esencialmente $\frac{\exp(-iz)}{2}.$

Así, mediante la integración de la función completa $$e^{i \alpha z} \prod_{m=1}^{n} J_{0}(\beta_{m}z) $$ around a closed semicircle in the upper half-plane, it follows almost immediately that $$\int_{0}^{\infty} \cos(\alpha x) \prod_{m=1}^{n} J_{0}(\beta_{m} x) \, dx =0 \, , \quad \sum_{m=1}^{n} \beta_{m} < \alpha. \tag{1} $$

Pero hay una manera de obtener los $(1)$ sin usar el contorno de la integración que se explicar mejor por qué el valor de la integral es cero en el las condiciones establecidas?

Como un aparte, si $n >2$, $(1)$ tiene por $\sum_{m=1}^{n} \beta_{m} \le \alpha $.

Answer 1

Es debido a que la transformada de Fourier de $\mathrm{J}_0$ se desvanece fuera de $[-1,1]$.

Deje $I$ ser integral $$ \def\J{{\mathrm{J}_0}}\def\dd{{\,\mathrm{d}}}\def\ii{{\mathrm{i}}} \def\ee{{\mathrm{e}}} I(\alpha) = \int_0^\infty \cos\alpha x\prod_k \J(\beta_k x)\,\dd x. $$ Voy a utilizar la representación integral $$ \J(x) = \int_0^\pi \cos(x\sin\theta) \frac{\dd\theta}{\pi} = \int_0^1 \cos(x u)\frac{2\dd u}{\pi\sqrt{1-u^2}} $$ junto con la transformada de Fourier de la Heaviside signo de la función en el formulario $$ \int_0^\infty e^{\ii ax}\,\dd x = \text{P. V.}\frac{\ii}{a} + \pi\delta(una). $$

La expansión de cada función de Bessel, obtenemos $$ I(\alpha) = \int_0^\infty\dd x\int_0^1 \Big( \prod_k \frac{2\dd u_k}{\pi\sqrt{1-u_k^2}}\Big) \cos\alpha x \prod_k \cos(\beta_k x u_k). $$

Ahora expanda cada coseno como $\cos x = \frac12(\ee^{\ii x} + \ee^{-\ii x})$: $$ \cdots = \int_0^\infty \dd x\int_0^1 \Big( \prod_k \frac{2\dd u_k}{\pi\sqrt{1-u_k^2}} \Big) \sum_{s\in\{\pm1\}^{n+1}} 2^{n-1} \exp\Big( \ii s_0\alpha x + \sum_k \ii s_k \beta_k u_k x \Big), $$ donde la suma se toma sobre todos los $2^{n+1}$ opciones de signos $s_0,\ldots,s_n = \pm1$ que vienen de la expansión de los cosenos en exponenciales.

La integral sobre la $x$ ahora se puede hacer directamente, como en el anterior: $$ \cdots = \frac{1}{2\pi^{n-1}} \int_0^1 \Big( \prod_k \frac{\dd u_k}{\sqrt{1-u_k^2}} \Big) \sum_{s\in\{\pm1\}^{n+1}} \delta\Big(s_0\alpha + \sum_k s_k \beta_k u_k \Big). $$ (La parte imaginaria se tiene a desaparecer tan sólo el $\delta$ plazo sigue.)

Esto aclara por qué la integral se desvanece: la integral la representación de la $n$ funciones de Bessel se integra más de la $n$-cube $[0,1]^n$, pero el $2^{n+1}$ hyperplanes $$ s_0\alpha + \sum_k s_k \beta_k u_k = 0 $$ no se intersecan este cubo cuando $$ \sum_k \beta_k < |\alpha|. $$