Supongamos $G$ es un grupo y $H$ a un subgrupo de primer índice $p$. Estoy tratando de mostrar que existe un elemento $g\in G$ tal que $$G/H=\{H,gH,g^2H,\ldots,g^{p-1}H\}$$ Mi intento: teniendo en cuenta la (transitivo) la acción de $G$$G/H$, tenemos un homomorphism $$\psi:G\longrightarrow S_p$$ y por lo tanto $\psi(G)$ es transitivo subgrupo de $S_p$. De ello se desprende que $p$ divide $\psi(G)$ y por lo tanto, del teorema de Cauchy, existe un elemento $\psi(g)\in\psi(G)$ orden $p$. A continuación, $\psi(g^p)=\psi(g)^p=1$, lo $g^p \in\ker\psi\subseteq H$, de donde $g^pH=H$. El resultado sería, a continuación, siga si podemos demostrar que $g^k\notin H$$1\leq k\leq p-1$, pero no he encontrado una manera de mostrar que.
Respuesta
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Con el elemento $\psi(g)$ orden $p$, primero vamos a comprobar que $g \notin H$. Supongamos que usted tenía $g\in H$. A continuación, $\psi(g^k)$ fix $H$ todos los $k$, lo $\psi(g)$ sería una permutación de las $p-1$ otros cosets de $H$, de la orden de $p$. Pero $p \nmid (p-1)!$, por lo que no puede ser.
Por lo tanto, tenemos $\psi(g)H \neq H$. Ahora, considere el orden de la órbita de $H$ bajo $\psi(g)^k$. Deje que el fin de ser $n$. Vimos $n > 1$. Pero $\psi(g)^p = \operatorname{id}$, por lo tanto $n \mid p$, lo $n = p$, ya que el $p$ es primo.
