Esta respuesta va a ser un poco incompleto, pero creo que se puede trabajar todos los detalles de la misma (feedback es bienvenido).
Considere la posibilidad de que usted tiene el sólido toro con el toro agujero en forma de liquidación aliado alrededor de dos veces, y llamar a este espacio $X$, entonces se desea calcular el $\pi_1(Z)$, donde $\frac{X}{Y_1\sim_f Y_2}$, $Y_1,Y_2$ son los componentes conectados de $\partial X$ $f:Y_1\to Y_2$ es un homeomorphism. Ahora, con la notación de la forma, cubierta $Z$ con dos sets (Van Kampen en las decisiones) $U,V$ donde $U = \mathrm{Int} X$, e $V$ es el cociente (por la relación $\sim_f$) de un barrio de $\partial X$; además, puesto que la $U\cap V$ no está conectado, nos van a tener que usar el groupoid versión del teorema de Van Kampen.
Así que elegir dos puntos en $U \cap V$, que voy a llamar a $0$ $1$ porque no quiero utilizar más letras, y calculamos el fundamental groupoids de $U,V$$U\cap V$, con respecto al conjunto de basepoints $\{0,1\}$. Cada uno de estos groupoids tiene dos elementos, y todo lo que tenemos que determinar es la automorphism grupo de estos dos elementos (correspondiente a$0$$1$) y los morfismos entre ellos (si es que existen).
Para $\pi_1(U\cap V,\{0,1\})$, cada elemento sólo tiene el grupo fundamental del toro (\mathbb Z \oplus \mathbb Z) como es automorphism grupo, y desde $0$ $1$ mentira en los diferentes componentes de $U\cap V$ no hay morfismos (que corresponden a las rutas de acceso) entre ellos.
Para $\pi_1(V,\{0,1\})$, se puede ver que desde $V$ deformación-se retrae hasta el límite de $X$ bajo la identificación de $\sim_f$. Además, consigue que, una vez más, en virtud de esta identificación de los límites de $X$ es homeomórficos al toro, y por lo $\hom(0,0) = \hom(1,1) = \pi_1(V) = \mathbb Z \times \mathbb Z$. También, por la elección de la base de los puntos de $0$ $1$ tal que $1 \in r^{-1}(f\circ r (0))$, uno puede ver que todos los elementos de a $\hom(0,1)$ son de la forma $\circ \gamma_{0,1} \circ k_0$ donde $\gamma_{0,1}$ es un camino de $0$ $1$ $k_0$es un elemento de $\hom(0,0)$ (tenga en cuenta que $\gamma_{0,1}\circ k_0 = h(k_0)\circ\gamma_{0,1}$ donde $h$ es la "identidad" $\hom(0,0) = \hom(1,1)$.
Finalmente (todavía tenemos que ver lo que son los mapas, pero, ya casi estamos allí) por $\pi_1(U,\{0,1\})$, podemos ver que $U$ deformación-se retrae a un toro con una banda de Möbius en su interior, y así tiene su grupo fundamental dado por $\pi_1(X) = \frac{\mathbb Za + \mathbb Zb + \mathbb Zc}{2a + b \sim 2c}$ (hay un error en mi comentario de antes, lo siento por eso). Y una vez más, $\hom(0,0) = \hom(1,1) = \pi_1(X)$ $\hom(0,1)$ tiene elementos de la forma $\delta_{0,1}\circ k_0$.
Ahora, todo lo que queda es montar las piezas por la elección de un punto, ($0$ o $1$, voy a elegir a $0$).
El mapa de $\pi_1(U\cap V,0)\to \pi_1(V,0)$ es el identitiy
El mapa de $\pi_1(U\cap V,0)\to \pi_1(U,0)$ toma un generador de a $a$ y el otro generador de a $b$, como por la representación dada anteriormente (se nota que estoy asumiendo $0$ es el punto de "cerca de la frontera exterior de $X$")
Por último, debemos considerar el grupo de elementos que surgen de componer elemnts de $\hom(0,1)$ con elementos de $\hom(1,0)$, estos tendrán la forma $\delta^{-1}\circ\gamma$ que no está homotopy equivalente a cualquiera de los otros generadores.
Así, obtenemos $\pi_1(Z) = \frac{\mathbb Za + \mathbb Zb + \mathbb Zc + \mathbb Z(\delta^{-1}\gamma)}{2a + b \sim 2c}$
