La comprensión de la Frechet derivados

Question

¿Cuál es la relación entre la normal 'high school' concepto de un derivado y un Frechet derivados? De acuerdo a wikipedia, la Frechet "se extiende la idea de la derivada de los verdaderos valores de funciones de una variable real a funciones en espacios de Banach."

Supongamos que tenemos $f:(\mathbb{R},||.||_{\mathbb{R}})\rightarrow (\mathbb{R},||.||_{\mathbb{R}})$ donde$||x||_{\mathbb{R}}=|x|$$f(x)=x$. Creo $(\mathbb{R},||.||_{\mathbb{R}})$ es de Banach, entonces, creo que lo ideal sería que la derivada de Frechet $f(x)$ 0 debe ser igual a nuestra derivado del estándar en$0$$f'(0)=1$. Pero $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|f(x+h)-f(x)-1|}{|h|} \neq 0$$ Así que mi pregunta es ¿cómo funciona el Frechet derivado de extender la idea de un derivado del valor real de la función de una variable?

Answer 1

La única diferencia es que usted se ha movido todo a un lado de la ecuación.

$$ f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

se convierte en

$$ 0 = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} - \frac{hf'(a)}{h} $$

así que

$$ 0 = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}$$

sujeción en algunos valores absolutos no cambia nada

$$ 0 = \lim\limits_{h \to 0} \frac{|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}$$

La utilidad de la definición de los derivados de esta forma es que se extiende a otras situaciones que la de funciones de una variable. Vamos a reestructurar una vez más y en lugar de enviar a $h$ $0$equivalentemente, podemos enviar $x$ a $a$ ($h=x-a$). A continuación, obtenemos

$$ 0 = \lim\limits_{x \to a} \frac{|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|}{|x-a|}$$

Ahora bien, si usted reemplace $x$ $a$ con vectores, $f$ con una función de los vectores a los vectores y a pensar en el valor absoluto, como la longitud de un vector, tenemos una perfecta definición razonable de un derivado. Bueno...excepto por esto "$f'(a)(x-a)$" de negocios.

Necesitamos reemplazar el "número" $f'(a)$ con un operador lineal (o una matriz = Jacobiana) y, a continuación, todo tiene sentido.

Por cierto, esta es mi manera preferida de la presentación de los derivados en el cálculo multivariable. Vemos que la derivada como una linealización que se aproxima a nuestra función: $f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)$ (la tangente). Al $f$ es una función con valores escalares, $f'(a)$ es sólo el gradiente. También, conseguimos que se acercan a esta multivariante límite a lo largo de los ejes de coordenadas se reduce a derivadas parciales. Esto explica por qué parciales (y, de hecho, todas las derivadas direccionales) puede existir en un punto, incluso cuando una función no es diferenciable (un límite puede existir a lo largo de todas las líneas, pero aún no existen).

Answer 2

Debería ser $h$, no $1$.

Cuando tenemos la función de $\Bbb R$ a en sí, tenemos $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h)$, mientras que en el caso general, $f(x+h)=f(x)+D_x(f)(h)+o(\|h\|)$. Por lo $D_x(f)(h)=f'(x)h$ lo que equivale a $1\times h=h$ en su caso.