Su método de extracción del último número, doblando, y restando el resto es una forma de determinar que un número es divisible por 7, pero no es la única manera. Yo nunca había visto antes, pero es llamativo y fácil de recordar. Su desventaja es que sólo cuenta si es o no un número es divisible por 7. Si el número no es divisible por 7 (y 6 de los 7 números no serán), la prueba no dice qué son los números.
Este problema de la prueba es totalmente diferente. Por un período de seis dígitos, $a_5a_4a_3a_2a_1a_0$ tienen el mismo resto como $a_0 - a_3 + 3 (a_1 - a_4) + 2 (a_2 - a_5)$. El número será divisible por 7 si y sólo si $a_0 - a_3 + 3 (a_1 - a_4) + 2 (a_2 - a_5)$ resto $0$. Si $a_0 - a_3 + 3 (a_1 - a_4) + 2 (a_2 - a_5)$ resto de países, $m$, $a_5a_4a_3a_2a_1a_0$ será también han resto $m$ $m$ más que un múltiplo de 7.
La prueba es fácil.
$b = \sum_{i=0}^5 10^ia_i \equiv a_0 - a_3 + 3 (a_1 - a_4) + 2 (a_2 - a_5) \mod 7 \iff$
$\sum_{i=0}^5 10^ia_i -(a_0 - a_3 + 3 (a_1 - a_4) + 2 (a_2 - a_5)) \equiv 0 \mod 7 \iff$
$(10^5 + 2)a_5 + (10^4 + 3)a_4 + (10^3 + 1)a_3 + (10^2 - 2)a_2 + 7a_1 \equiv 0 \mod 7 \iff$
$100002a_5 + 10003a_4 + 1001a_3 + 98a_2 + 7a_1 \equiv 0 \mod 7 \iff$
$100002a_5 + 10003a_4 + 1001a_3 + 98a_2 + 7a_1 \equiv 0 \mod 7 \iff$
Como 7 divide 100002, 10003, 1001, 98, y 7 esto es cierto.
$10^6 = 1 \mod 7$ es un resultado de Fermat poco teorema que como mcd(10,7) = 1 $10^{7-1} \equiv 1 \mod 7$.
Si usted no sabe de Fermat poco teorema, esto puede ser demostrado para ser verdad al señalar que:
$10^6 - 1 = (10^3 -1)(10^3 + 1) = (10-1)(10^2 + 10 + 1)(10 + 1)(10^2 - 10 + 1) = 9*111*11*91$ y observando $7|91$$7|10^6 - 1$$10^6 \equiv 1 \mod 7$.
Podemos extender este resultado a los números de más de 6 dígitos al anotar
$B = \sum_{i=0}^n10^ia_i = \sum_{i=0}^m{10^{6i}}(\sum_{l=0}^510^la_l \equiv \sum_{i=0}^m(-1)^i(a_{6i} - a_{6i+3} + 3 (a_{6i +1} - a_{6i+4}) + 2 (a_{6i+2} - a_{6i+5}) \mod 7$.
(En otras palabras, hacer lo anterior en grupos de 6 dígitos).
Estoy completamente seguro de que el punto del ejercicio es NO descubrir un nuevo divisibilidad de la prueba. Tengo absolutamente ninguna intención de recordar esta prueba o utilizar de nuevo.
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Addendum: Así que ¿por qué no hace su trabajo de pruebas.
$B =\sum_{i=0n}^n10^ia_i \equiv 0 \mod 7 \iff$
$\sum_{i=1}^n10^ia_i \equiv -a_0 \mod 7 \iff$
$10\sum_{i=1}^n10^{i-1}a_i \equiv -a_0 \mod 7 \iff$
$50\sum_{i=1}^n10^{i-1}a_i \equiv -5a_0 \mod 7 \iff$
$\sum_{i=1}^n10^{i-1}a_i \equiv -5a_0 \mod 7 \iff$
$\sum_{i=1}^n10^{i-1}a_i \equiv 2a_0 \mod 7 \iff$
$\sum_{i=1}^n10^{i-1}a_i - 2a_0\equiv 0 \mod 7 \iff$
$\lfloor B/10 \rfloor - 2a_0\equiv 0 \mod 7 \iff$
