Renormalización de masas: Series geométricas de diagramas irreductibles de una partícula

Question

En casi todas partes se afirma que la función de Green completa de dos puntos (digamos para el campo de Klein-Gordon) es una serie geométrica en los diagramas irreducibles de una partícula, es decir, en el espacio de momento,

$$G(k) = G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k) + \dots $$ $$ = G_0(k)\big(1+\Sigma(k)G_0(k)+\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+\dots\big)$$

y que la suma de esto es, utilizando la fórmula de la serie geométrica, $$G(k)=\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(k)}=\frac{1}{k^2+m^2-\Sigma(k)-i\epsilon}$$

(por ejemplo, en la primera página, en la esquina superior derecha de aquí o la parte inferior/superior de las páginas 56/57 aquí ).

Sin embargo, ¿cuál es la justificación para sumar esta serie geométrica de esa manera? Nunca parece estar justificado y no parece que $|\Sigma(k)G_0(k)|<1\,.$ Incluso si renormalizo la masa $m$ para que $m_R^2 := m^2-\Sigma(k)$ es finito, si el sumatorio de la serie geométrica no está justificado los infinitos no se cancelarán y todo seguirá divergiendo. ¿Hay una suma implícita? ¿Este paso es completamente no-perturbativo?

$\mathbf{Edit\;1}$ : Básicamente, tal y como yo lo veo, la situación es la siguiente: Yo pregunto cuál es la amplitud del propagador (en el espacio del momento), y tú dices $$\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(k)}=\frac{1}{k^2+m_R^2-i\epsilon}$$ donde $m_R^2=m^2-\Sigma(k)$ es la masa (finita). Entonces observo que se puede calcular aproximadamente utilizando la serie de perturbaciones dada por la teoría, que es $$G_0(k)\big(1+\Sigma(k)G_0(k)+\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+\dots\big)\,.$$ Sin embargo, observo que $\Sigma(k)G_0(k)>1$ y sé que para $x>1$ la serie de perturbaciones dada por $$1+x+x^2+\cdots$$ no es una buena aproximación a $\frac{1}{1-x}\,,$ en cualquier orden de la serie de perturbaciones. Así que parece que la teoría de perturbaciones falla porque no da una buena aproximación, en ningún orden, para el propagador. Así que me pregunto cuál es la justificación de todo esto en primer lugar. ¿Acaso se limitan a ver que la serie de perturbaciones para el propagador es la misma que la serie de perturbaciones para $\frac{1}{1-x}\,,$ pero darse cuenta de que $|x|>1$ y luego suponiendo que el propagador real debe ser $\frac{1}{1-x}\,?$ Porque esto parecería ser un paso completamente no-perturbativo.

$\mathbf{Edit\;2}$ : Voy a hacer el cálculo real que me confunde, y si alguien me puede indicar donde está mal (si es que lo está) sería de gran ayuda. Por cierto hice una rotación Wick previamente, pero no voy a hacer eso esta vez:

Tenemos que $$\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(K)}=\frac{1}{k^2-m_R^2}$$

donde $m_R$ es la masa física (y finita), y donde $G_0(k)=\frac{1}{k^2-m^2}$ donde $m$ es la masa desnuda dependiente del corte. Reordenando, obtengo $$\Sigma(k)G_0(k)=1-G_0(k)(k^2-m_R^2)=1-\frac{k^2-m_R^2}{k^2-m^2}\,.$$ Veamos la región en la que $m_R^2<k^2<m^2\,.$ $m^2\to\infty$ a medida que se elimina el corte, por lo que se trata de una región muy grande. Ahora me parece que en la expresión anterior para $\Sigma(k)G_0(k)\,,$ que el lado derecho es SIEMPRE mayor que uno, e incluso posiblemente cercano al infinito para ciertos valores de $k$ (o tal vez no obtiene valores cercanos al infinito porque $k$ tiene que limitarse a valores por debajo del corte, pero esto no es realmente importante). Esto parecería hacer sospechosa toda la suma geométrica. ¿Hay algún error?

Si tengo un malentendido básico de cómo funciona esto entonces me gustaría saberlo, este es el caso más básico de renormalización en QFT pero no lo entiendo.

Answer 1

Su pregunta es legítima. Podemos darle la vuelta a la situación. En lugar de comenzar con la serie geométrica $$ \begin{equation} G(k) = G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)+G_0(k)\Sigma(k)G_0(k)\Sigma(k)G_0(k) + \dots, \quad (1) \end{equation} $$ y llegando a $$ G(k)=\frac{G_0(k)}{1-\Sigma(k)G_0(k)}=\frac{1}{k^2+m^2-\Sigma(k)-i\epsilon} ,\quad (2) $$ podemos ir al revés. En lugar de eso, afirmaremos que la ec. (2) es válida y pondremos en duda la dudosa expansión de la ec. (1), y con razón (OP ha señalado la insensatez que supone $|\Sigma(k)G_0(k)|<1$ ).

Si haces tus deberes hurgando en la literatura de QFT, descubrirás un montón de formas no perturbativas de derivar la ec. (2) sin recurrir a la ec. (1). La QFT perturbativa de la vieja escuela tiene sentido intuitivo, pero es un desastre matemático.

Answer 2

Las expansiones perturbativas son típicamente divergentes en la teoría de campos, así que me atrevería a aventurar que la recapitulación completa de los diagramas irreducibles de 1 partícula es realmente divergente.

Pero esto no es problema si sólo quieres renormalizar. Ten en cuenta que en la práctica siempre renormalizas en orden finito en tu parámetro de expansión, así que realmente no hay necesidad de preocuparse por la suma infinita. La suma de las series geométricas truncadas está bien definida, así que para renormalizar defines los contra-términos de forma que tu propagador sea finito en el orden en el que estás haciendo tus cálculos.

Answer 3

Su malentendido básico es que $|\Sigma(k)G_0(k)|>1$ lo cual no es cierto y básicamente se utilizan al menos tres principios para asegurarse de que $|\Sigma(k)G_0(k)|<1$ . El primero es muy básico, es decir, la renormalizabilidad de la teoría, y el segundo es la naturaleza local de los contravalores. El tercer ingrediente no es necesario, excepto en el caso de las partículas escalares, que se denomina "naturalidad" en el modelo estándar.

El término de corrección de masa $\Sigma(k)$ es una suma de infinitas gráficas que contribuyen a la autoenergía de la partícula que, en general, tendrá una divergencia lineal (como la autoenergía del electrón) o cuadrática (como la autoenergía del fotón) en el límite de alta energía. En el caso de partículas con espín distinto de cero se pueden utilizar diferentes esquemas de regularización para hacer que este comportamiento sólo tenga divergencia logarítmica y una redefinición del parámetro de masa ( renormalización) absorbe esta divergencia.

Esto básicamente le dice que $\Sigma(k)$ se comporta como $ln(k/m)$ con k puede sustituirse por una escala $\Lambda$ y tendrás $|\Sigma(k)G_0(k)|$ comportamiento como $ln(k)/k^2$ como $$G_0(k)=\frac{1}{k^2+m^2}$$

Ahora $ln(k)/k^2$ es siempre inferior a $1$ (como $ln(k)-k^2$ es siempre negativo).

Sin embargo, en el caso de las partículas escalares se tiene $\Sigma(k)$ comportarse tan mal como divergente cuadráticamente (no hay suficientes simetrías en la teoría), para lo cual se necesita tener mucha cancelación que implique $\Lambda^2$ para suavizar las integrales resultantes y que no diverjan tanto como las cuadráticas. Sin embargo, no hay razón para esperar que tales cancelaciones se produzcan "naturalmente", por lo que es necesario afinar la teoría para obtener una cancelación adecuada en la que se pueda tener $m^2_{physical}<<\Lambda$ . Como resultado de estas cancelaciones, tendrá un comportamiento de ablandamiento de $\Sigma(k)$ que no divergirá tanto como $\Lambda^2$ y tendrás $|\Sigma(k)G_0(k)|<1$ según sea necesario.

Sin embargo, el problema del ajuste fino no es una solución física y, por lo tanto, debe complementarse con una simetría adicional de la teoría. Un caso de ello es la supersimetría, que proporciona el comportamiento simétrico del supercompañero de espín 1/2 para hacer que la divergencia sea logarítmica, pero esa es otra cuestión.

Espero que esto explique todas tus dudas e intenta hacerte con un buen libro de qft como el qft de Srednicki.

Answer 4

Puedes considerar esto como una suma selectiva de diagramas y una definición de series eventualmente divergentes como una función finita. Ya en los primeros tiempos de Euler se sabía cómo sumar tales series cuando el parámetro de expansión formal no es realmente pequeño. Lea el libro de Hardy sobre este tema.

El verdadero problema no está aquí. En la Electrodinámica Clásica se puede calcular exactamente la reacción de retroceso, y elas, es una adición divergente a la masa de la partícula. Esto es porque la reacción trasera (auto-acción) es principalmente una auto-inducción de una carga puntual. Ninguna fuerza externa puede acelerar una carga debido a esta autoinducción infinita. Nótese, la idea de auto-acción es un ansatz, no algo incuestionable. Por eso tenemos que descartar las correcciones de masa en prácticamente cualquier teoría: incluso finitas, son innecesarias porque teníamos la masa observada en las ecuaciones originales. Por tanto, descarte (renormalización de la masa).

Además, el propagador del electrón no es invariante gauge.

Peor aún, en QED siempre hay una probabilidad prácticamente unitaria de emitir fotones suaves porque el electrón está permanentemente acoplado a los osciladores de fotones. Tu ejercicio no lo tiene en cuenta; en QED se tiene en cuenta más adelante. Un electrón es en realidad una infra-partícula (búscalo en Google).