Estoy buscando el argumento de la derecha ¿por qué la función de $ \cos\sqrt z$ es analítica en todo el plano complejo. Como tengo entendido, un holomorphic rama de $\sqrt z$ sólo puede encontrarse en el plano de corte (sin números negativos), ya que el Argumento de la función no es continua en todas partes. Por lo tanto $ \cos\sqrt z$ es de al menos holomorphic en el mismo dominio, pero ¿cómo justificar que él es en realidad holomorphic en todas partes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Las dos ramas de $\sqrt{z}$ difieren sólo por un signo, mientras que la función coseno es par. Por lo tanto la ambigüedad de la raíz cuadrada es deshecho por la aplicación del coseno.
Otra forma de verlo es utilizar el poder de la serie $$\cos w=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n w^{2n}}{(2n)!},$$ insert $w=\sqrt{z}$, and to get $$\cos \sqrt{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{n}}{(2n)!}.$$
garrmark
Puntos
1
$w = \cos \sqrt{z}$
$w = \cos z^\frac{1}{2}$
$w = \cos \left (e^{\frac{1}{2} ( \ln |z| + i \, Argz + i 2n\pi)} \right )$ todos los $n \in \mathbb{N}$
$w = \cos \left (e^{\frac{1}{2} (\ln |z| + i \, Argz)} e^{ i n \pi} \right )$ todos los $n \in \mathbb{N}$
Recordemos que $e^{i n \pi} = \cos n \pi + i \sin n \pi$.
Para $n = 2k$, $k \in \mathbb{N}$, tenemos $w = \cos \left ( e^{\frac{1}{2} (\ln |z| + i \, Argz)} \right )$
Para $n = 2k+1$, $k \in \mathbb{N}$, tenemos $w = \cos \left ( - e^{\frac{1}{2} (\ln |z| + i \, Argz)} \right ) = \cos \left ( e^{\frac{1}{2} (\ln |z| + i \, Argz)} \right )$
Desde $\cos$ es una función par, $\cos (-p) = \cos p$. Por ejemplo, si $\sqrt{|z|} e^{\frac{1}{2} i \, Argz} = \pi$,$w = \cos \pi = -1$, e $w = \cos \left (- \pi \right ) = -1$.
Por lo tanto, no hay ningún problema de la discontinuidad, al igual que existe con $\sin \sqrt{z}$. No hay necesidad de restringir el dominio. Por lo tanto, no hay necesidad de cortes de ramas. Por lo tanto, se obtiene analiticidad.
