¿Por qué son estructuras muy interesante?

Question

Las estructuras son conjuntos junto con algunas constantes, relaciones y funciones en ese conjunto. Se estudian en muchas áreas de las matemáticas: Por ejemplo, álgebra universal estudios, estructuras algebraicas (es decir, estructuras, sin relaciones, sólo las funciones y constantes) en general. También, el modelo de la teoría de los estudios de la relación entre la lógica formal y de las estructuras. Como un último ejemplo, permítanme mencionar álgebra abstracta. Este campo de estudios más estructuras de hormigón, tales como grupos, campos, anillos, monoids, y así sucesivamente.

Bien. Las estructuras son muy importantes en matemáticas. Estoy interesado en la historia y en la motivación de la definición de la estructura.

• Lo que hace que las estructuras tan interesante?
• Por qué nos da el estudio de estructuras tan poderosas herramientas?
• ¿Cuál es la motivación detrás de la definición de estructuras? (Por ejemplo, ¿por qué no puede la estructura tiene más de un transportista?)
• ¿Cómo surgió el término estructura históricamente desarrollar? ¿Cuáles fueron los primeros ejemplos de motivación?
• ¿Por qué elegir el nombre de "estructura"? Yo personalmente interpretar esta palabra ("estructura"), como algún tipo de patrón. ¿Qué tiene esto que ver con la noción matemática de las estructuras?

Answer 1

Este es un comentario - ver mi postscript a continuación - pero este es el camino, el camino es demasiado largo:

Así que la idea principal es esta: estamos en busca de una idea que generaliza todos o muchos de los ya muy general tipo de objeto matemático estudiado hasta ahora. Por ejemplo, los grupos, anillos, campos, espacios vectoriales, etc. Cualquier definición que nos conformamos debe tener dos propiedades:

• Debe ser lo suficientemente general para abarcar todos, o al menos una amplia variedad de los objetos matemáticos ya hemos interesado en.

• Debe ser lo suficientemente específico para que podamos probar cosas acerca de ella. Demasiada generalidad no es inherentemente buena!

Ahora, permítanme señalar que esta pregunta ya se ha respondido de diferentes maneras! E. g.

• En el contexto del álgebra universal, estamos interesados en los sistemas equipados con funciones de relación con los símbolos permitidos!

• En el contexto del modelo de la teoría, la definición de la estructura es la que hemos dado. Tenga en cuenta que esto se generaliza más allá de la universal algebraica de configuración, permitiendo que las relaciones.

• ¿En qué momento nos interesa la topología? Topológicos, grupos, anillos, campos etc. tiene sentido, pero no son capturados por la clásica noción de "estructura" del modelo de la teoría. Si quieres hablar de topológica de estructuras, necesita aún una definición más general: una estructura topológica es una estructura (en el sentido usual de la palabra), junto con una topología en su conjunto subyacente. Ver, por ejemplo, el libro Continua del Modelo de la Teoría por Chang y Keisler. Ahora, tal vez también queremos añadir algunas condiciones de compatibilidad en cómo la estructura y topología de interactuar; este es el enfoque adoptado en el continuo de la lógica, que hasta ahora ha sido más eficaz que la restricción de la versión (al menos, esa es mi impresión).

• Y, por supuesto, a veces estamos interesados en las cosas que se ven como estructuras "desde fuera" - por ejemplo, un grupo de objetos en alguna categoría. Podemos desarrollar categórica versiones de modelo de la teoría o el álgebra universal (ver, por ejemplo, Lawvere teorías), que es más general que lo que he descrito hasta ahora.

• Ir en una dirección diferente, se podría permitir que los infinitary relaciones y funciones. Creo que este fue mirado por Addison hace mucho tiempo, pero no tengo una cita. Tenga en cuenta que no son muy naturales ejemplos de infinitary operaciones y relaciones - por ejemplo, la relación "converge como una serie infinita!"

Así que esa es mi retroceso en contra de la idea de que hay un "derecho" de la noción de estructura. Dicho esto, el modelo clásico de la teoría de la noción de estructura claramente ha sido de gran utilidad. Así que, ¿qué hizo?

Es difícil hacer un argumento convincente de aquí, pero permítanme enumerar algunos de los puntos a favor de esta definición.

• Es lo suficientemente general para la captura, básicamente, cada una de las estructuras estudiadas en (el no-topológico partes de) modelo abstracto de la teoría.

• Proporciona una semántica de la teoría de conjuntos, que a su vez nos permite hablar sobre el más general de los enfoques. Recuerde que ZFC, a pesar de hablar sobre el conjunto de la teoría de universo, es realmente de primer orden de la teoría! Tenga en cuenta que nos encontramos con problemas de aquí, si queremos hablar de por ejemplo, la clase de objetos de tamaño, pero yo realmente no creo que eso es fatal para esta idea (ver, por ejemplo, NBG o universos).

• Esta definición es lo suficientemente estrecha que podemos probar teoremas sobre ella: por ejemplo, la compacidad, Lowenheim-Skolem, el teorema de Herbrand, etc. Estos teoremas a la vez han sido aplicados a determinados problemas matemáticos - ver, por ejemplo, el Ax-teorema de Kochen o prueba de minería de datos. Tenga en cuenta que estos teoremas son realmente los teoremas de la base de la lógica (la lógica de primer orden) en lugar de la noción de estructura de por sí, pero estos no son realmente tan diferentes. El teorema de completitud da un sentido en el que la noción de estructura está en correspondencia con la lógica subyacente. (Hablando de la lógica, tenga en cuenta que también podemos preguntarnos por qué la lógica de primer orden es el "derecho" de la lógica a utilizar, y cómo que se tomó la decisión; ver, por ejemplo, este documento de Ferreiros. Ver también Lindstrom del teorema.)

Tenga en cuenta que esta respuesta se evita por completo una real discusión histórica. Esto refleja mi falta de conocimiento. Mientras que yo sé un poco acerca de los argumentos filosóficos que rodeaba a la adopción de la lógica de primer orden, yo no sé nada acerca de la historia de la definición de "estructura". Es por eso que todo en esta respuesta es retrospectiva: sabiendo lo que sabemos ahora matemáticamente, ¿qué podemos decir acerca de la "estructura"? Espero que alguien con conocimiento real le dará una mejor respuesta.

Answer 2

Voy a intentar responder a algunas de tus preguntas.

Lo que hace que las estructuras tan interesante? Por qué nos da el estudio de las estructuras tan poderosas herramientas?

Uno muy común y útil de la cosa en matemáticas es una abstracción, una.k.una. la generalización. El pensamiento en el lenguaje de las estructuras permite a los matemáticos a generalizar las propiedades de muchos a muchos objetos diferentes: por ejemplo Cauchy teorema nos dice que para cada divisor primo de la cardinalidad de un grupo finito no es un elemento que tiene el fin de que prime, no importa si se trata de un grupo de permutaciones o isometrías o matrices. Básicamente se trata de la matemática de la versión de los "dos pájaros de un tiro"...aunque "muchos pájaros de un tiro", sería más apropiado, al menos en mi opinión.

Otra cosa importante dado por la noción de estructura es la noción de la (homo)de morfismos. A través de morfismos somos capaces de relacionar y confrontar diferentes objetos que tienen una estructura similar y esto es muy útil para discoverying y demostrar las propiedades de diferentes objetos: por ejemplo, en teoría de grupos, podemos estudiar las propiedades de los diferentes grupos a través de sus homomorphism en grupos de permutación o grupos de matrices (hay todo un campo de las matemáticas que se ocupa de estos objetos se llama teoría de la representación, tiene importantes aplicaciones fuera de las matemáticas, por ejemplo, en la física).

Tenga en cuenta que sin la noción de estructura de la noción de morfismos puede ser establecido.

Podríamos seguir por mucho tiempo, contestar a estas dos preguntas, pero prefiero parar aquí para evitar ser demasiado aburrido (siéntase libre de preguntar en los comentarios adicionales cosas).

¿Cuál es la motivación detrás de la definición de estructuras? (Por ejemplo, ¿por qué no puede la estructura tiene más de un transportista?)

Probablemente usted debe ser más específico en el que la noción de estructura de la que te refieres porque hay multi-ordenados estructuras que tienen las familias de conjuntos como transportista. Ejemplos de estos multi-ordenan las estructuras son módulos genéricos de los anillos (o si te gusta más el ejemplo concreto espacios vectoriales en diferentes campos). Otro ejemplo que puedo citar (porque soy un poco parcial) es que de categoy, que es un multi-ordenan la estructura.

¿Cómo surgió el término estructura históricamente desarrollar? ¿Cuáles fueron los primeros ejemplos de motivación?

No estoy seguro de eso, pero creo que llegó por primera vez durante el 1800 cuando el inglés algebraists observó similar....estructura undelying diferentes tipos de álgebras y que a través de esa idea de que podría ser un montón de interesantes propiedades (como existace de las soluciones de las ecuaciones) para la gran clase de estructuras a la vez por un razonamiento en términos de estas estructuras abstractas, en lugar de hacer de nuevo el mismo trabajo para todos los ejemplos concretos. Estas observaciones condujeron a lo que se denomina moderno o abstracto de álgebra.

¿Por qué elegir el nombre de "estructura"? Yo personalmente interpretar esta palabra ("estructura"), como algún tipo de patrón. ¿Qué tiene esto que ver con la noción matemática de las estructuras?

Esta pregunta es en sí misma la respuesta. Los diversos noción de estructuras de captura de diferentes patrón común en la gran clase de los objetos. Para instace la noción de grupo de captura de un patrón común a las simetrías, isometrías y diversos tipo de número-sistemas: a saber, el hecho de tener una operación binaria que es asociativa, con la unidad y la recíproca. Argumentos similares se aplican a otro tipo de estructuras (anillos, espacios vectoriales, etc).

Espero que esto (tal vez demasiado) respuesta puede ayudar.

Answer 3

Yo capto "estructura" como las relaciones en conjuntos, sets, que debe ser percibido como sin estructura per se, y que el uso moderno de la misma está ligada a la teoría de conjuntos.

Todos bijections en un conjunto es un ejemplo concreto de un grupo y en un principio todos los subconjuntos de los bijections que fueron cerradas en virtud de la composición, donde el pensamiento de como 'grupos'. A continuación, se encontró que los grupos fueron definidas de forma exclusiva por los cuatro clásicos axiomas de grupos. Esta podría haber sido una de las primeras estructuras modernas.

Tener axiomas de estructuras de conjuntos es una gran ventaja como una base para futuras investigaciones.