Demostrar que $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}f'(x)$

Question

He llegado a un teorema. (Probablemente no sea un teorema, pero no sé cómo llamarlo):

Si $$\lim_{x\to\infty}f'(x)$$ existe (es finito), entonces $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}f'(x)$$ Todavía no he encontrado un contraejemplo, y me parece que tiene sentido, pero no puedo demostrarlo.

Este "teorema" es crucial para responder a una pregunta que me han pedido, pero mi respuesta no será muy buena si no puedo demostrar por qué funciona.

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Lo que he probado:

He podido probarlo si $f(x)$ tiene una asíntota lineal (creo que mi terminología es correcta).

Si:

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}mx+b$$

Entonces:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{mx+b}x=m$$

Pero eso no funciona si no hay asíntota. Tomemos $f(x)=\ln(x)$ por ejemplo, el $b$ en $mx+b$ sería infinito.

Answer 1

Una forma rigurosa de demostrarlo es invocar $\varepsilon$ - $M$ argumentos. En condición $c \equiv \lim_{x \to \infty} f'(x)$ existe y es finito, lo que implica que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $M > 0$ tal que para todo $x \geq M$ , $$|f'(x) - c| < \varepsilon. \tag{1}$$ Por otro lado, por el teorema del valor medio, para cualquier $x > M$ tenemos $$f(x) = f(M) + f'(\xi)(x - M)$$ para algunos $\xi \in (M, x)$ . Por lo tanto, para todos los $x > M$ se deduce que \begin {align*} & \left | \frac {f(x)}{x} - c \right | \\ = & \left | \frac {f(M) + f'( \xi )(x - M)}{x} - c \right | \\ = & \left |f'( \xi ) - c + \frac {f(M) - f'( \xi )M}{x} \right | \\ \leq & |f'( \xi ) - c| + \frac {|f(M) - f'( \xi )M|}{x} \\ < & \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon. \end {align*} En el último paso podemos aumentar $x$ siempre que sea necesario para que este último término esté acotado por $\varepsilon$ es posible hacerlo ya que el numerador está acotado por un número fijo. Esto completa la prueba.

Answer 2

La regla de L'Hopital no requiere que el numerador se acerque al infinito. De hecho, el límite $\lim_{x\to \infty}f(x)$ ni siquiera tiene que existir . Véase la nota AQUÍ que hace referencia al caso de interés.

Así, si $f'(x)$ existe para algún intervalo $(x_0,\infty)$ y $\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{1}$ existe, entonces tenemos

$$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}f'(x)$$

Answer 3

Lo que sigue no es una respuesta rigurosa (ya se han publicado buenas respuestas), sino un apunte sobre la intuición que hay detrás del resultado, algo relacionado con la última parte que has editado en la pregunta.

Cuando el límite existe $\lim_{x\to\infty}f'(x) = L$ , de forma intuitiva $f(x)$ se acerca cada vez más a una función lineal de pendiente $L$ como $x\to \infty$ (que puede ser una asíntota horizontal si $L = 0$ o una oblicua en caso contrario).

Ahora, considera un punto $P \equiv (x,y)$ en la curva $y = f(x)$ . La línea que pasa por el origen $O \equiv (0,0)$ y señalar $P$ tiene la pendiente $y / x = f(x) / x$ . Para un tamaño suficientemente grande $x$ la línea $OP$ intersectará la asíntota de $f(x)$ en las proximidades de $P$ que se hace cada vez más pequeño a medida que $x$ crece hacia $\infty$ desde $f$ "se acerca a su asíntota. En el límite $x\to \infty$ el propio punto de intersección tiende a infinito, es decir, que $OP$ tiende a una línea en paralelo al asysmptote es decir $\lim_{x\to \infty}f(x) / x = L = \lim_{x\to \infty}f'(x)$ .