Escritura de los números reales como sumas de ceros y unos

Question

Llamar a un número $\delta\en(0,1)$ "bueno" si se cumple la siguiente propiedad:

Cada número real $a\in(0,1)$ puede ser escrita como una suma infinita de la forma: $$a = \sum_{i=1}^\infty \delta^i a_i$$ donde $a_i\in\{0,1\}$.

¿Qué números son buenos?

Sé que $1/2$ es buena, ya que cuando $\delta=1/2$, el $a_i$ son sólo los dígitos en la representación binaria de $a$.

Por otro lado, $1/3$ no es buena, ya que para representar un número real en el ternario, también necesitamos el dígito 2.

Es fácil probar que cada $\delta<1/2$ no es buena, ya que el máximo número que puede ser representado es $\frac{\delta}{1-\delta}$, y es estrictamente menor que 1.

Mi conjetura es que cada $\delta\en [1/2,1)$ es buena. ¿Es esto cierto?

Answer 1

Sí. Recordemos que la suma infinita es la abreviatura de

$$ a = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \delta^i a_i $$

Es decir, $a$ es el límite de una secuencia de sumas parciales de la serie. Por lo tanto, para demostrar que las sumas parciales tiene $un$ como su límite, debemos demostrar que podemos ser arbitrariamente cerca de $a$ con esas sumas parciales.

Usted puede establecer esto de la siguiente manera (esto es sólo un boceto, usted necesita para hacer esto más formal): Imagina que todos los $a_i$ $1$ inicialmente. Que va a hacer la infinita suma de $\delta/(1-\delta)$, que es mayor que o igual a $1$ (y por lo tanto mayor que el de destino) cuando $\delta \en [1/2, 1)$. Ahora emplean un algoritmo voraz: En cada etapa, quitar la mayor $\delta^i$ que pueda, sin disminuir la cantidad por debajo de $a$. Desde la secuencia de $\delta^i$ tienen $0$ como un clúster de punto, y la eliminación de cualquier $\delta^i$ siempre deja un "residuo" menor que $\delta^i$ (porque $1/2 \leq \delta < 1$), podemos llegar tan cerca como nos gusta a $a$.

Por lo tanto, se puede escribir cualquier valor de $a \in (0, 1)$ de esta manera. (De hecho, se puede escribir $0$ y $1$ de esta manera, también.)

Answer 2

Siguiendo la sugerencia de Brian Tung respuesta, estoy tratando de escribir una prueba formal.

Deje que $\delta\en[1/2,1)$ y $D=\frac{\delta}{1-\delta}\geq 1$.

Reclamo: Dado un número $a\in[0, D)$, para cada entero $N\geq 0$ existe una secuencia de números de $a_1,\dots, a_N$, todo en $\{0,1\}$, tal que:

$$D\cdot \delta^N > a-\sum_{i=1}^N{\delta^i\cdot a_i} \geq 0$$

Prueba: Por inducción sobre $N$. Para $N=0$, la secuencia está vacía y obtenemos:

$$ D > a \geq 0 $$, que es dado. Supongamos que la afirmación es verdadera para $N$. Marca:

$$b_N = a - \sum_{i=1}^N{\delta^i\cdot a_i}$$ por supuesto:

$$D\cdot \delta^N > b_N \geq 0$$

Definir $a_{N+1}$ de la siguiente manera:

• Si $D\cdot \delta^{N+1} > b_N$, entonces $a_{N+1}=0$. Entonces $b_{N+1} = b_N$ y satisface el requisito de: $D\cdot \delta^{N+1} > b_{N+1} \geq 0$.
• De lo contrario, configure $a_{N+1}=1$. Entonces $b_{N+1} = b_N - \delta^{N+1}$ y:
  • $b_{N+1} \geq D\cdot \delta^{N+1} - \delta^{N+1} = (D-1)\delta^{N+1} \geq 0$, desde $D\geq 1$.
  • $b_{N+1} < D\cdot \delta^N - \delta^{N+1} = D\cdot\delta^N(1-\delta) = \delta^{N+1} \leq D\delta^{N+1}$, de nuevo desde $D\geq 1$. Por lo tanto: $b_{N+1} < D\cdot \delta^{N+1}$ como se requiere. $\square$

Corolario:

$$ a = \sum_{i=1}^\infty{\delta^i\cdot a_i} $$