Número de rectángulos para cubrir un círculo

Question

Después de buscar por ahí encontré que esto es similar al Círculo de Gauss pero lo suficientemente diferente (para mí al menos) que no se traduce bien.

Tengo un círculo de radio 9 que necesito cubrir completamente con rectángulos de 4 x 8. ¿Cuál es el número mínimo de rectángulos enteros necesarios? Mis propios cálculos concluyeron que está entre 8 y 11. Lo he encontrado fijando el número máximo de paneles igual a (diámetro del círculo / altura del panel)x(diámetro del círculo/ancho del panel) para obtener 10,125 redondeado a 11 Creo que podría utilizar con seguridad 10 debido a los residuos. A continuación, encontré el mínimo estableciendo el número de paneles igual a (área del círculo/área del panel). Esto me dio una respuesta de 7,95, redondeada a 8.

¿Hay una forma mejor de hacerlo?

Answer 1

Es posible cubrir el círculo mediante $11$ rectángulos.

Podemos construir el $11$ rectángulos mediante el siguiente procedimiento.

• Centrar el círculo de radio $9$ en el origen.
• Comienza a cubrir el círculo con el rectángulo $C_0 = [5,9] \times [-4,4]$ (el rojo).
• Girar $C_0$ con respecto al origen para los ángulos $\frac{2k}{7} k \pi $ para $k = 1,\ldots, 6$ . Esto nos da $6$ nuevos rectángulos $C_1, C_2, \ldots, C_6$ (los grises).
• Hacer copias de $C_0$ , $C_2$ y $C_5$ y desplazarlas hacia el interior para un desplazamiento radial $4$ . Esto nos da $3$ rectángulos $C'_0$ , $C'_2$ y $C'_5$ (los verdes). Para que la cobertura funcione, hay que desplazar $C'_2$ y $C'_5$ un poco tangencialmente también.
• Lo que queda en el círculo puede ser cubierto por el rectángulo $[-7,1] \times [-2,2]$ (el azul).

Según Centro de embalaje de Erich , el mejor recubrimiento actual conocido del círculo por $18$ cuadrados de la unidad tiene radio $r \approx 2.116$ . Desde $2.116 \le 2.25 = \frac{9}{4}$ esto significa que no hay ninguna cobertura conocida de nuestro círculo con $9$ rectángulos. Esto nos deja con la pregunta de si podemos reducir el número de rectángulos de $11$ a $10$ .

Answer 2

Ninguno de los dos procesos está garantizado. Siguiendo el espíritu del primero, podrías hacer (diámetro del círculo/altura del panel) redondeado hacia arriba por (diámetro del círculo/ancho del panel) redondeado hacia arriba. En su ejemplo, esto daría $\lceil \frac {18}8\rceil \cdot \lceil \frac {18}4 \rceil = 3 \cdot 5 = 15$ . Esto crea un rectángulo que es lo suficientemente grande como para cubrir su círculo en ambas dimensiones. En este caso el rectángulo será $24 \times 20$ pies, claramente. Tu segundo cálculo está bien si estás dispuesto a cortar los rectángulos, quizás en trozos muy pequeños. Si quieres mantener los rectángulos enteros, no puedes contar con utilizar toda la superficie.

Los problemas de embalaje suelen ser difíciles. Lo único que puedes hacer es probar disposiciones de los rectángulos hasta encontrar una que cubra. He encontrado el siguiente, que utiliza $12$ rectángulos. Las dimensiones son un factor $1/4$ veces el tuyo. Podría haber una manera de hacerlo con menos rectángulos.

Answer 3

Tampoco pude cubrir con menos de 12. Si se permitiera cortar dos de los rectángulos a lo largo en un par de $2\times8$ rectángulos cada uno, entonces 10 serían suficientes.