Bochner integral = 0 iff $f = 0$

Question

Este problema es acerca de las integrales de funciones que toman valores en un espacio de Banach.

Deje $f \in L^1(X,S,\mu,B)$ donde $X$ es un conjunto con un $\sigma$-álgebra $S$ y una medida $\mu$. La función $f$ toma valores en un espacio de Banach $B$.

Si $\int_E f(x)d\mu(x) = 0$ todos los $E \in S$, demuestran que, a $f = 0$.e.

Tenga en cuenta que desde $f$ toma valores en $B$, $\int_E f(x)d\mu(x)$ también toma valores en $B$, es decir, el "$0$" es el cero del espacio de Banach $B$.

En caso de reales, hay un orden y teniendo en cuenta $f^{-1}([0, \infty)) \in S$ es fácil ver que $f$ debe $0$.e. No estoy seguro de cómo proceder para un espacio de Banach.

Answer 1

Supongo que $B^*$ es separable. De hecho es equivalente a la divisibilidad de las $B$.

Considerar contables densa de la familia $F=\{\varphi_n\}_{n=1}^\infty\subset B^*$. Tomar arbitraria $\varphi_n\in F$, entonces para todos los $E\in S$ hemos $$ \int\limits_E \varphi(f(x))d\mu(x)=\varphi \left(\int\limits_E f(x)d\mu(x)\right) =\varphi(0)=0 $$ Desde $E\in S$ es arbitrario, llegamos a la conclusión de que $\varphi_n(f(x))=0$ sobre un conjunto $Y_n\subset X$ tal que $\mu(X\setminus Y_n)=0$. Definir $Y=\bigcap\limits_{n=1}^\infty Y_n$,$\mu(X\setminus Y)\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \mu(X\setminus Y_n)=0$. Ahora considere el $x\in Y$, entonces hemos demostrado que para todos los $\varphi_n \in F$ tenemos $\varphi(f(x))=0$. Desde $F$ es denso en $B^*$, entonces para todos los $\varphi\in B^*$ tenemos $\varphi(f(x))=0$. Luego, por el corolario de Hahn-Banach teorema obtenemos $f(x)=0$. Por tanto, para todos $x\in Y$ hemos demostrado que la $f(x)=0$ y, además,$\mu(X\setminus Y)=0$, es decir,$f=0$.e.

Answer 2

Esta es una extensión de Norberto de la respuesta. Estoy siguiendo el libro "Vector de Medidas" por Diestel + Uhl.

Podríamos definir un $\mu$medible de que la función sea integrable Bochner si y sólo si $\int_X \|f\| \ d\mu <\infty$. Pero ¿qué significa "$\mu$medible"? Así, el Pettis Mensurabilidad Teorema dice que esto ocurre si y sólo si

1. no es$A\subseteq X$$\mu(X\setminus A)=0$, e $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ es separable en $B$;
2. para cada una de las $\varphi\in B^*$, la función con valores escalares $\varphi\circ f$ es medible.

Ajuste de $f$$0$$X\setminus A$, podemos suponer que la $f(X)$ es separable. A continuación, podemos encontrar una contables set $(\varphi_n)$ $X^*$ que separa los puntos de $f(X)$, es decir, si $y\in f(X)$ $\varphi_n(y)=0$ todos los $n$,$y=0$. Ahora sigue Norbert respuesta. Por lo que el resultado es cierto para cualquier $B$.

Edit: En respuesta a la Marca: Vamos a $B=\ell^2([0,1])$ muy mucho de no-separable espacio de Banach. Definir $f:[0,1]\rightarrow B$ $f(t) = e_t$ donde $(e_t)_{t\in[0,1]}$ es la canónica ortonormales base para $B$. Entonces para cualquier $\varphi\in B^*$ hay una contables set $A$ tal que $\varphi(e_t)=0$ si $t\not\in A$. Por lo $\varphi(f(t))=0$ off $A$; en particular, si $[0,1]$ tiene medida de Lebesgue, entonces $\varphi\circ f=0$ en casi todas partes. De ello se desprende que $f$ es integrable Pettis (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Pettis_integral) y tiene cero integral sobre cualquier medibles $E\subseteq [0,1]$. Pero, por supuesto, $f$ no es cero en casi todas partes.