Confundido acerca de la definición de subespacio

Question

La definición de mi libro de texto es:

Un subespacio de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que satisface dos requisitos:

Si $v$ $w$ son vectores en el subespacio y $c$ es cualquier escalar, entonces

(1) $v + w$ está en el subespacio.

(2) $cv$ está en el subespacio.

Y mi libro de texto dice espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ pero vamos a decir $V=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$W=\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$, lo $V$ $W$ son todos en $\mathbb{R}^2$, y claramente $V+W$ está en $\mathbb{R}^2$, $cV$ o $cW$ $\mathbb{R}^2$ demasiado, así que los dos primeros requisitos se cumplen, ¿por qué decimos $\mathbb{R}^2$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$? Parece que tienes que añadir a $V$ $W$ debe ser en $\mathbb{R}^3$ así, pero ¿por qué no tenemos esto en la definición?

Answer 1

Su definición se pierde el punto crucial que el subespacio debe ser un subconjunto de los padres de espacio. Así, en particular, todos los vectores del subespacio también debe ser un vector en el espacio.

$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ no es un elemento de $ℝ^3$, debido a que tiene dos componentes y de los vectores en $ℝ^3$, tres.

Answer 2

$\mathbb{R}^2$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$, pero puede ser canónicamente identificado con un subespacio. Muchos matemáticos identificar a $\mathbb{R}^2$ con $$ \left\{ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix} \mediados de v_1, v_2 \in \mathbb{R} \right\}. $$ Como tal, $\mathbb{R}^2$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$. Más precisamente, debemos decir que el $\mathbb{R}^3$ contiene, como un subespacio vectorial, una copia de $\mathbb{R}^2$.

Answer 3

Creo que estás pensando en el $x-y$ plano como parte de $x-y-z$ espacio, pero esa no es la manera correcta de pensar de manera abstracta en $\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^3$ .

Vectores en $\mathbb{R}^2$ tiene dos componentes, no tres, por lo $\mathbb{R}^2$ no es un subconjunto de a$\mathbb{R}^3$, por lo que no puede ser un subespacio.

Answer 4

Su definición de un subespacio de un espacio vectorial es fina. Sin embargo, hay que hacer una distinción importante entre el$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^3$. Si ${\bf v}\in\mathbb{R}^3$, entonces podemos escribir ${\bf v}=(v_1,v_2,v_3)$. Nos damos cuenta de que este vector tiene tres componentes. El último componente puede ser cero, dando un vector ${\bf v'}=(v_1,v_2,0)$, y se nota que este define un punto en el $xy$ plano, sino ${\bf v'}\in\mathbb{R}^3$ todavía. Si ${\bf u}\in\mathbb{R}^2$, entonces podemos escribir ${\bf u}=(u_1,u_2)$. Este vector tiene dos componentes, en lugar de tres.

Si ${\bf u}=(u_1,u_2,0)$ ${\bf u'}=(u_1,u_2)$ son vectores en $\mathbb{R}^3$$\mathbb{R}^2$, usted debe darse cuenta de que ${\bf u}\neq {\bf u'}$. Por lo tanto, si ${\bf u}$$\mathbb{R}^2$, entonces no es en $\mathbb{R}^3$, ya que tiene dos componentes, en lugar de tres.

Answer 5

Usted necesidad de evitar el abuso de notación. Para la mayoría de las consideraciones, $\mathbb{R}^2$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ ni $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}^3$, hasta el punto de no contener los mismos componentes ($\mathbb{R}^2$ 2 $\mathbb{R}^3$ 3, por lo tanto no puede ser un subconjunto de la otra). Más bien, aunque... es $\textit{isomorphic}$ a un subespacio en $\mathbb{R}^3$, principalmente:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}, x, y \in \mathbb{R}$$

Que es el $x -y $ plano en el $x - y - z$ espacio de $\mathbb{R}^3$.