El primer número de la generación de la función como producto de la expansión

Question

Estoy interesado en el primer número de la generación de la función.

$$f(x)=1+\sum \limits_{k=1}^\infty p_{k}x^k=1+2x+3x^2+5x^3+7x^4+11x^5+....$$

Me gustaría encontrar la función como producto de la expansión y para comprobar el patrón de coeficientes. He encontrado un par de términos como se muestra a continuación.

$$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{ \infty } (1+a_n x^n)=(1+2x)(1+3x^2)(1-x^3)(1+9x^4)(1-4x^5)...$$

Hay un método para encontrar $a_n$ y para comprobar si un patrón visto?

EDIT: me gustaría compartir cómo me encontré con los primeros 4 términos en la expansión de productos.

$$ (1+2x)(1+3x^2)=1+2x+3x^2+6x^3$$

$$ (1+2x)(1+3x^2)(1+a_3x^3)=(1+2x+3x^2+6x^3)(1+a_3x^3)=$$ $$ =(1+2x+3x^2+6x^3+a_3x^3+2a_3x^4+3a_3x^5+6a_3x^6)$$

compruebe $x^3$ plazo en $f(x)$ , $a_3+6=5$ a continuación, $a_3=-1$

Ahora tenemos

$$ (1+2x)(1+3x^2)(1-x^3)(1+a_4x^4)=(1+2x+3x^2+5x^3-2x^4-3x^5-6x^6)(1+a_4x^4)=$$

$$ (1+2x+3x^2+5x^3-2x^4-3x^5-6x^6+a_4x^4+2a_4x^5+3a_4x^6+5a_4x^7-2a_4x^8-3a_4x^9-6a_4x^{10})=$$

compruebe $x^4$ plazo en $f(x)$ , $a_4-2=7$ a continuación, $a_4=9$

EDIT: Gracias a Raymond Manzoni para el vínculo para mostrar 34 primeros términos (aquí)

$a_n : (2, 3, -1, 9, -4, 0, -16, 89, -52, 60, -182, 214, -620, 966, -2142, 10497, -7676, 13684, -27530, 48288, -98372, 190928, -364464, 619496, -1341508, 2649990, -4923220, 9726940, -18510902, 37055004, -69269976, 213062855, -258284232, 527143794 , ....)$

Aquí los gráficos de $a_n$

Gracias por las respuestas

Answer 1

Yo he hecho algo similar con el poder de la serie de la función exponencial. He encontrado que es útil para expresar las cosas utilizando el logaritmo de la función, principalmente debido a los $\small \log((1+ax)(1+bx^2)(1+cx^3)...)$ convierte en una suma de poder formal de la serie, y que la suma puede entonces compararse con el registro de los poderes formales de la serie de la función.

Aquí es
$ \displaystyle \qquad \log(f(x)) = \log( 1+2x+3x^2+5x^3+7x^4+11x^5+...) \\ \qquad \log(f(x)) = 2x + 1x^2 + 5/3x^3 + 1/2x^4 + 12/5x^5 - 13/6x^6 + 16/7x^7 - 15/4x^8 + \ldots $

and this must then equal the log of the function expressed as infinite products (each log of one parenthese populates one row)

$\qquad \displaystyle \pequeño \begin{array} {rrrrrrr} \log(g(x)) = & ax &- a^2/2x^2 &+ a^3/3x^3 &- a^4/4x^4 &+ a^5/5x^5 &- a^6/6x^6 & \ldots \\ & &+ bx^2 & &- b^2/2x^4 & & + b^3/3x^6 &\ldots \\ & & &+ cx^3 & & & - c^2/2x^6 & \ldots \\ & & & &+ dx^4 & & & \ldots \\ & & & & &+ ex^5 & & \ldots \\ & & & & & & +fx^6 & \ldots \\ & & \ldots \\ \hline \\ =\log(f(x))= &2x &+ 1x^2 &+ 5/3x^3 &+ 1/2x^4 &+ 12/5x^5 &- 13/6x^6 & \ldots \end{array}$

$\qquad \qquad \qquad $*(where $g(x)$ means the product-representation of $f(x)$)*

and this can be solved recursively, beginning $=2$, $b=1+a^2/2=3$ y así sucesivamente.

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[actualización] : estoy encontrando una buena observación: esquema de la composición de la logarithmized términos parece permitir a demostrar, que la resultante de los coeficientes son enteros: que se produce porque en la k 'th exponente de x en el denominador de los sumandos en la k 'ésima columna son todos los divisores de k, de modo que los nuevos coeficientes, siempre se puede encontrar como enteros.

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Un término de búsqueda de google proviene de este pequeño fragmento de mi pequeño treatize:

H. Gingold/A. Knopfmacher en la "Analítica de las Propiedades de la Energía Producto de las Expansiones" (1995) esta idea "aparece primero en ha estudiado en la década de 1930 por Ritt [R] y Feld [F].

Un Pari/GP-rutina te da

{ prodcoeffs(f,dim=64) = local(logf,logfcoeffs,prdfcoeffs,a,lc); 
     logf = log(f) ;
     logfcoeffs = polcoeffs(logf,dim) ; \\"polcoeffs" - returns the pol-coeffs
                                        \\ as a vector containing all of them
     prdfcoeffs = vectorv(dim); 
     for(c=1,dim-1, 
          prdfcoeffs[1+c]= a =logfcoeffs[1+c]; 
          lc=0;forstep(k=c,dim-1,c,lc++;logfcoeffs[1+k]-= -(-a)^lc/lc ); 
     ); 
 return(prdfcoeffs);} 


 print (prodcoeffs(Ser([1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53]),16))  
 [0, 2, 3, -1, 9, -4, 0, -16, 89, -52, 60, -182, 214, -620, 966, -2142]~