Hay una secuencia tal que $\sum{a_n}$ diverge sino $\sum{na_n}$converge?

Question

Hay una (real) de la secuencia tal que $\sum{a_n}$ diverge sino $\sum{na_n}$converge?

Answer 1

No, no hay tal secuencia. Supongamos que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n$ converge. Entonces, desde el $\{\frac{1}{n}\}_{n\geq 1}$ es monótona y acotada (va a cero), tenemos $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}na_n$ convergentes por Abel de la prueba (o de Dirichlet de la prueba); véase Abel de la prueba y de Dirichlet de la prueba .

Answer 2

La idea es (ver aplicaciones de Abel transformación en Wikipedia):

Si $\sum_n u_n$ es convergente y $v_n \to 0$ monótonamente, a continuación, $\sum_n u_n v_n$ es convergente.

Aquí, tome $u_n=na_n$$v_n=\frac 1 n$.

Así que la respuesta es no.