¿Número de raíces el grado del mapa?

Question

Sea $p$ sea una función polinómica sobre $\mathbb{C}$ que no tiene raíz en $S^1$ . Mi pregunta es la siguiente: ¿el número de raíces, hasta la multiplicidad, de $p(z) = 0$ con $|z| < 1$ es necesariamente igual al grado del mapa $\widehat{p}: S^1 \to S^1$ especificado por $\widehat{p}(z) = p(z)/|p(z)|$ ?

Answer 1

Una solución más sencilla que la de Lee Mosher es la siguiente. Sea $z_1, \dots, z_n$ sean las raíces de $p$ dentro del círculo unitario, y que $w_1, \dots, w_m$ sean las raíces de $p$ fuera del círculo unitario. Así que $$p(z) = (z - z_1) \dots (z - z_n) (z - w_1) \dots (z - w_m).$$ Defina una homotopía de $\alpha q$ a $\widehat{p}$ donde $\alpha \in S^1$ y $q(z) = z^n$ : $$H(z, t) = {{(z - tz_1) \dots (z - tz_n) (tz - w_1) \dots (tz - w_m)}\over{|(z - tz_1) \dots (z - tz_n)(tz - w_1) \dots (tz - w_m)|}}.$$ Para todos $t$ tenemos que $tz_i$ está dentro del círculo unitario para $i = 1, \dots, n$ y $w_j/t$ está fuera del círculo unitario para $j = 1, \dots, m$ . Así, $H$ es continua y es la homotopía deseada, con $$\alpha = {{(-w_1)\dots(-w_m)}\over{|w_1 \dots w_m|}}.$$ Sea $\gamma(t) = e^{2\pi it}$ un representante del generador $\pi_1(S^1)$ . Entonces $q(\gamma)(t) = e^{2\pi tin}$ es decir, $q_*([\gamma]) = [\gamma]^n$ . Así que $\deg q = n$ . Supongamos que $\alpha = e^{2\pi i \rho}$ . Entonces la multiplicación por $\alpha$ es homotópica a la identidad por $$H(z, t) = ze^{2\pi i(1 - t)\rho}$$ y por tanto tiene grado $1$ . La composición de mapas induce la multiplicación de grados, por lo que $$\deg \widehat{p} = \deg (\alpha q) = n.$$

Answer 2

Es casi correcto: si se cuentan las raíces con multiplicidad es exactamente correcto. La prueba es un argumento de homología.

Sea $z_1,..,z_K$ sean los rollos de módulo $<1$ .

Sea $D_1,…,D_K$ sean pequeños discos redondos centrados en $z_1,…,z_K$ respectivamente, elegidos para ser disjuntos por pares y disjuntos de $S^1$ .

Sea $F = D^2 - (\text{int}(D_1) \cup \cdots \cup \text{int}(D_K)$ .

El mapa $p \bigm| F$ puede considerarse un ciclo doble en $\mathbb{C}-0$ y como tal es una homología en $\mathbb{C}-0$ del ciclo 1 $p \bigm| S^1$ al ciclo 1 $p \bigm| (\partial D_1 \cup \cdots \cup \partial D_K)$ . Por lo tanto, esos dos 1-ciclos representan el mismo elemento de $H_1(\mathbb{C}-0;\mathbb{Z}) \approx \mathbb{Z}$ . El ciclo 1 $p \bigm| S^1$ es homotópica a $\hat p$ y, por tanto, representa el grado de $\hat p$ . El ciclo 1 $p \bigm| (\partial D_1 \cup \cdots \cup \partial D_K)$ es la suma de los 1-ciclos individuales $p \bigm| \partial D_k$ y este último representa la multiplicidad del cero en $z_k$ .