Serie de polinomios ciclotómicas

Question

Cómo puedo mostrar que si $\Phi$ es un polinomio, ciclotómicas $$ \Phi_n (x) = \prod_ {\substack {1\leq k\leq n\\(n,k)=1}}(x-\zeta_n^k)$ $ $\frac{d}{dx}\Phi_n(x)=\Phi'_n(x) $

Entonces, $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}\frac{\Phi'_n(e^{2\pi})}{\Phi_n(e^{2\pi})}=\frac{45\zeta(3)} {\pi^4e^ {2\pi}} + \frac {7} {4\pi e ^ {2\pi}} $$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^8}\frac{\Phi'_n(e^{2\pi})}{\Phi_n(e^{2\pi})}=\frac{4725\zeta(7)} {\pi^8e^ {2\pi}} + \frac {19} {12\pi e ^ {2\pi}} $$

Answer 1

$\Phi'_n(x)/\Phi_n(x) = \sum 1/(x - \zeta_n^k) = x^{-1} \sum 1/(1 - \zeta_n^kx^{-1}) = x^{-1} \sum_{d \ge 0} \zeta_n^{ek} x^{d}$.

Vamos $S(n,d) = \sum \zeta_n^{ek}$. Fácilmente nos tiene $S(1,d) = 1, S(n,0) = \phi(n)$ y $S(n,1) = \mu(n)$ (la función de Möbius).
Si $\gcd(d,n) = 1$, entonces $\zeta_n^k \mapsto \zeta_n^{ek}$ es una permutación de las raíces, por lo que $S(n,d) = S(n,1) = \mu(n)$.
Si no, entonces escribir $d = gd'$ y $n = gn'$ donde $g = \gcd(d,n)$. Tenemos $\zeta_n^d = \zeta_{n}^{d'}$, entonces $S(n,d) = \phi(n)S(n',d')/\phi(n')$. Entonces, desde $\gcd(n',d') = 1$, $S(n,d) = \phi(n)\mu(n',d')/\phi(n')$.

Ahora, $\Psi(s,x) = \sum n^{s}\Phi'_n(x)/\Phi_n(x) = x^{-1}\sum_{d \ge 0} (\sum_{n \ge 1} S(n,d)n^{s})x^{d}$.

Desde $\phi$ y $\mu$ son multiplicativos funciones, por lo que es de $S(n,d)$ cuando $d$ es fijo.
Si $v_p(d) = m$, con la convención que $v_p(0) = \infty$ y $p^{-\infty} = 0$, vemos que $$\sum_{k \ge 0} S(p^k,d)p^{-k} = \sum_{0 \le k \le m} \phi(p^k)p^{-k} + \sum_{k \gt m} \phi(p^k)\mu(p^{k-m})p^{-k}/\phi(p^{k-m}) \\ = 1 + \sum_{1 \le k \le m} (p-1)p^{-1+k(1-s)} - p^{-s+m(1-s)} = (1 - p^{s})\sum_{0 \le k \le m} p^{k(1-s)} \\ = (1 - p^{s})\sigma_{1-s}(p^m)$$

Por lo tanto, $$\sum_{n \ge 1} S(n,d)n^{s} = \prod (1-p^{s}) \sigma_{1-s}(p^{v_p(d)}) = \sigma_{1-s}(d)/\zeta(s)$$

Observe que si $d=0$, entonces $\sigma_{1-s}(0) = \zeta(s-1)$, y si $d>0$, entonces $\sigma_{1-s}(d) = \sigma_{s-1}(d)/d^{m-1}$, lo que demuestra que : $$\Psi(s,x) = \frac 1 {x\zeta(s)}\left(\zeta(s-1) + \sum_{d\ge 1} \frac{\sigma_{s-1}(d)}{d^{m-1} x^d} \right)$$