Necesita algo de ayuda para arreglar una apuesta

Question

tl;dr.: ¿Hay algún número para que $2^{i}\mod 3 = 0$ donde $i \in \mathbb{N}$

Algunos amigos y yo hicimos una apuesta recientemente. Básicamente, si son 3 personas que van a compartir una pizza, y se empieza por cortar en 4 trozos del tamaño, puede que nunca seguir doblando el número de sectores por lo que todo el mundo será capaz de recoger la misma cantidad de piezas y obtener la misma cantidad de pizza?

Hicimos un poco de matemáticas en nosotros, pero viendo como estamos todos-los ingenieros, nuestras habilidades en matemáticas son muy oxidado :) Nos hizo llegar con una pequeña aplicación para comprobar que funciona, y parece que no hay solución para $i < 1000$ o así. Sin embargo, no estamos muy satisfechos con esta solución. ¿Alguien puede dar una prueba de que nunca va a suceder (o lo contrario)? :)

El inglés no es mi primera lengua, por lo que no podría haber sido capaz de formular la pregunta lo suficientemente clara. Si se necesita más información, por favor pregunte :)

Answer 1

No, usted no puede, porque la descomposición de un número en números primos es única y un $3$ no aparece en el primer descomposición de $2^i$.

Answer 2

Por otro lado, si usted está dispuesto a cortar infinitamente a menudo, se corta la pizza en cuatro trozos iguales, luego tome una pieza de cada uno, y repetir con el resto de la pieza. Si usted hace esto exponencialmente más rápido se puede terminar la pizza en una cantidad finita de tiempo.

Answer 3

Para un argumento sin recurrir a la descomposición en factores primos, sólo tenga en cuenta el siguiente hecho: el producto de dos números impares es impar.

Ahora supongamos que podríamos escribir $2^i = 3n$ para algunos entero $n$. $2^i$ es claramente aún, por lo $n$ debe ser: $n = 2m$ para algunos entero $m$. Por lo tanto, dividiendo ambos lados por 2, tenemos $2^{i-1} = 3m$, lo $2^{i-1}$ también puede ser escrito como un múltiplo de 3. La repetición de este proceso $i$ de las veces, nos encontramos con que $2$ puede ser escrito como un múltiplo de $3$, lo cual es absurdo.