Mostrando un complejo de la analítica de la función es ilimitado

Question

Este fue uno de los problemas en un año anterior Análisis Complejo examen final.

Suponga $f\in \mathcal O (\mathbb H )$, no constante, y $f(\frac {i}{\sqrt n})=0, \forall n\in \mathbb N$. Demostrar que $f$ toma ilimitado de valores.

Lo que he probado hasta ahora: he tratado de argumentar que el punto de $z=0$ tenía que ser una singularidad esencial ya que la función no se puede continuar a ser holomorphic allí (tomando el valor de $0$), para, a continuación, se vería forzado a ser idéntica a la $0$ función (que se supone que no debe). Entonces me cuadrado de la entrada de dominio para argumentar que el elemento esencial de la singularidad debe tomar en unbounded valores en la mitad superior del plano en algún lugar cerca de $z=0$. Pero, creo que mi razonamiento es incorrecto, porque esto no puede ser una singularidad aislada en absoluto y puede ser un punto en la rama cortada de un holomorphic función o algo. Me pregunto si alguien puede echarme una prueba interesante y/o explicación acerca de cómo hacer frente a este problema, gracias.

Answer 1

El uso de un fraccionario de la transformación lineal, cambiar el dominio a la unidad de disco. Hacer que el centro del disco no es un cero de la nueva función ( $g$ ). Deje $\{a_n\}$ ser los ceros de $g$. Desde $g$ es acotado, Jensen fórmula implica que para cada $r\in (0,1)$ $$ \sum_{|a_k|< r} \log \frac{r}{|a_k|} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log |g(re^{i\theta})|\,d\theta \log |g(0)| $$ donde el lado derecho está delimitado de forma independiente de $r$. Dejando $r\to 1$, a la conclusión de que $$ \sum_{k} \log \frac{1}{|a_k|}<\infty $$ o, equivalentemente, $$ \sum_{k} (1-|a_k|)<\infty $$

Pero la secuencia de $i/\sqrt{n}$ se transforma en una secuencia $\{b_n\}$ tal que $1-|b_n|$ es comparable a $1/\sqrt{n}$.