es un producto de dos esquemas noetherianos sobre Spec $\mathbb Z$ un esquema noetheriano?

Question

En la demostración que hace Hartshorne de la proposición 6.6 en el capítulo 2, dice que si $X$ ser noetheriano implica $X\times\mathbf A^1$ es "claramente" noetheriano.

Supongo que es porque $X$ pueden ser cubiertos por conjuntos abiertos afines $U_i=\text{Spec}\ A_i$ con Noetherian $A_i$ y luego $X\times\mathbf A^1$ está cubierto por los conjuntos abiertos afines $U_i\times_{\mathbb Z}\mathbf A^1$ que son $\text{Spec}\ \big(A_i\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[x]\big)=\text{Spec}\ A_i[x]$ y $A_i[x]$ es noetheriano a partir del teorema de la base de Hilbert. ¿Hay una manera más simple de ver esto?

En términos más generales, si $X,Y$ son esquemas sobre $\mathbb Z$ es $X\times_{\text{Spec}\ \mathbb Z}Y$ ¿siempre noetheriano? Con un argumento similar al anterior esto es lo mismo que preguntarse si $A\otimes_{\mathbb Z}B$ es un anillo noetheriano si $A$ y $B$ ¿verdad? Supongo que mi confusión surge de la "noetherianidad" como módulos frente a la "noetherianidad" como anillo.

Sobre qué regímenes $S$ (en lugar de $\text{Spec}\ \mathbb Z$ ) ¿es cierto que los productos de dos esquemas noetherianos sobre $S$ es un esquema noetheriano?

Answer 1

He aquí un ejemplo de campo de ampliación $k\to K$ tal que $K\otimes_kK$ no es noetheriano.
Implica inmediatamente que el producto $\text{Spec}(K)\times_k \text{Spec}(K)$ de dos copias del esquema afín noetheriano $\text{Spec}(K)$ no es noetheriano .

Tome por $k$ cualquier campo no perfecto de característica $p\gt 0$ (el campo de funciones racionales $k=F(T)$ de cualquier campo $F$ de característica $p$ por ejemplo) y considerar su cierre perfecto $K=k^{p^{-\infty}}$ .
Si $a\in K$ es de nivel $n$ (es decir $a^{p^n}\in k$ pero $a^{p^{n-1}}\notin k$ ), entonces $b=a\otimes 1-1\otimes a\in K\otimes_k K$ es nilpotente de orden $p^n$ (es decir $b^{p^n}=0$ pero $b^{p^n-1}\neq 0$ )
Dado que existen elementos $a\in K$ de cualquier nivel $n\geq 1$ el radical nilpotente $Nil (K\otimes_k K)$ del anillo $K\otimes_k K$ contiene nilpotentes $b$ de alto orden arbitrario $p^n$ lo que no es posible en un noetheriano anillo .
[En efecto, dado un anillo noetheriano $A$ si $Nil(A)=\langle n_1,...,n_k\rangle $ y si el orden de nilpotencia de todos los $n_i$ 's es $\leq N$ entonces para cada $b=\sum _{i=1}^k a_in_i$ tenemos $b^{k(N-1)+1}=0$ de modo que todos los elementos de $Nil(A)$ tienen orden de nilpotencia $\leq k(N-1)+1$ ]