Por definición $\aleph_1 = 2 ^{\aleph_0}$ . Y como $2 < \aleph_0$ entonces $2^{\aleph_0} = {\aleph_1} \le \aleph_0 ^ {\aleph_0}$ . Sin embargo, no sé qué es exactamente $\aleph_0 ^ {\aleph_0}$ es o cómo podría calcularlo.
Respuesta
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No. Por definición $\aleph_1$ es el menos incontable $\aleph$ número. $2^{\aleph_0}$ puede ser bastante grande $\aleph$ , o podría ser $\aleph_1$ . Por ejemplo, muchos axiomas de forzamiento (por ejemplo, el axioma de forzamiento adecuado) demuestran que $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ .
La afirmación $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ se conoce como La hipótesis del continuo y se demostró que era indemostrable a partir de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, podemos añadir axiomas que decidan la hipótesis del continuo, por ejemplo, él mismo o el axioma de forzamiento antes mencionado.
Por otro lado:
$$2^{\aleph_0}\leq\aleph_0^{\aleph_0}\leq (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}= 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$$
Para leer más:
Aquí hay algunos enlaces a respuestas que discuten la cardinalidad del continuo:
