Acerca de la Pregunta 1), básicamente, la fórmula :
$ \{$ números impares $\} = \{ n \in \mathbb{N} : \exists \, k \in \mathbb{N} \; (n = 2k+1 ) \; \}$
es una abreviación de la formal :
$\{ n : n \in \mathbb{N} \quad \land \quad \exists \, k \; ( k \in \mathbb{N} \land n = 2k+1 ) \;\}$.
La sintaxis de primer orden establecido-teoría, requiere de $\{ x : \phi(x) \}$
donde $\phi(x)$ es un bien formado fórmula con una variable libre (un bien formado fórmula es una expresión que se construyó de acuerdo a "especificaciones de lenguaje").
Debido al hecho de que $\in$ es parte de la configuración de la teoría de la lengua, se puede utilizar en $\phi$, de modo que usted puede tener :
$\{ x : x \in S \land P(x) \}$.
En consecuencia, voy a reescribir : $\{ f(x) : x \in S \}$ como :
$\{ \; y : \exists \, x \, \exists \, z \quad (Funct(z) \quad \land \quad x \in S \quad \land \quad <x,y> \in z) \; \}$;
donde $Funct(z)$ es un "complejo" de la expresión diciendo que el conjunto de $z$ es una función; de nuevo, la fórmula a la derecha de los dos puntos tiene la forma : $\phi(y)$, $y$ gratis.
Por supuesto, además de los aspectos sintácticos, que dicta cómo construir bien formado fórmulas, tenemos los aspectos relacionados con la "existencia" de los conjuntos, que depende de los axiomas.
En la teoría de conjuntos Axiomática (el formulario debido a Zermelo y Fraenkel, llamado $\mathsf {ZF}$) debe utilizar el Axioma Esquema de Separación con el fin de demostrar que el conjunto anterior existe.
Esta respuesta también la pregunta acerca de la $\{ x \in S: P(x) \} = \{ ? : x \in S \}$. Debe ser :
$\{ x \in S: P(x) \} = \{ x : x \in S \land P(x) \}$.
A la izquierda de los dos puntos debemos tener un conjunto de variables; a la derecha de la columna, una "condición", y especifica que el conjunto resultante será el subconjunto de $S$ hecha por los elementos $x$ $S$ tal que $P(x)$ mantiene.
Debe ser, también, una fórmula con la constante símbolo (un "nombre", como : $\emptyset$): por ejemplo, podemos tener :
$\{ x : x \in S \land x \in \emptyset \}$.
En este caso podemos "elegir" la $x \in S$ que además pertenece a $\emptyset$; pero no hay ninguno, por lo que el resultado será simplemente el conjunto vacío.
NOTA sobre el lenguaje. Con el fin de comprender las fórmulas de arriba, tenemos algunas nociones preliminares sobre de primer orden lenguaje.
Empezamos con los símbolos : variables: $x$, $y$, ..., los predicados : $P$, $Q$, ..., las conectivas : $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\rightarrow$ y los cuantificadores $\forall$ $\exists$ . Podemos agregar también constantes, como $0$ $1$ en la aritmética y la $\emptyset$ en el conjunto de la teoría.
Un "especial" (binario) predicado es $=$ (ambos en la aritmética y la teoría de conjuntos), mientras que el (binario) predicado $\in$ es utilizado en la teoría de conjuntos.
Se escriben normalmente, debido principalmente a la tradición - en el infijo forma, es decir,$x \in y$$x = y$, en lugar de la "oficial" del prefijo de la forma, es decir,$\in (x,y)$$=(x,y)$.
Infix forma es más readible para los seres humanos; equipos de "preferir" el prefijo de uno.
Las Variables y constantes son los términos : se comportan como "sustantivos".
Con los predicados y las conectivas y cuantificadores puede crear fórmulas, como $x \in \emptyset$, $0 = 1$.
A grandes rasgos, los términos tienen denotación y la fórmula tiene sentido: pero, a fin de lograr la "significatividad", debemos seguir las reglas de formación (la sintaxis de la lengua, como las especificaciones formales de un lenguaje de programación).
El asunto es como en lenguaje natural : las frases "la flor es roja" y "el hombre que se ejecute lentamente" son "bien formados", mientras que la frase "el hombre corre redly" no tiene sentido.
En la teoría de conjuntos tenemos que fórmulas como : $x \in A$ $A \subseteq B \cap \emptyset$ están bien formados, es decir, tienen sentido.
La expresión $x \in \lor A$ está mal formado, es decir, sin sentido.
Con cuantificadores y las conectivas se puede "construir" fórmulas complejas (a partir de "atómica" o primaria).
Ejemplos de la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos añadir a los "básicos" de símbolos (variables, conectivas, cuantificadores y la igualdad ( $=$ )), sólo uno de predicado (bynary : $\in$) como primitiva : todos los demás símbolos "específico" de la teoría de conjuntos se define.
Por favor nota: también el "nombre" para el conjunto vacío ($\emptyset$) se define; se introdujo después de que hemos demostrado que, de acuerdo a los axiomas de nuestra teoría, existe un conjunto que no tiene miembros, y que este conjunto es único.
Atómica fórmulas : $x \in y$, $x = y$, etc.
A partir de este "austera" planta baja podemos buil todo lo que necesitamos, es decir, fórmulas complejas como : $x \in y \land x = y$, $\lnot x \in y$ (abreviado como : $x \notin y$), ...
Cuando escribimos una fórmula parecida a $\phi(x)$, usualmente queremos hacer referencia a una atómica (o) fórmula compleja con una variable libre, como $x \in \emptyset$. Pero también podemos escribir : $x \in \emptyset \land x \notin x$. Esta última fórmula es la "forma" $x \in S \land P(x)$ (donde "casualmente" $P(x)$ es el predicado de la paradoja de Russell).
Nuestros primeros ejemplos de esta "forma": el conjunto de los números pares es el conjunto de todos los $x$ tal que $x \in \mathbb{N} \land \exists y (x=2 \times y)$; aquí $\exists y (x=2 \times y)$ es una fórmula con la variable libre $x$, como $P(x)$.
Nota hemos implícitamente "añadido" para establecer el idioma también los símbolos de la aritmética, como :$\mathbb{N}$, $+$, $0$, $\times$. Por favor, asumir por el bien de la discusión acerca de que no es admisible.
NOTA sobre las funciones en la teoría de conjuntos.
Funciones en la teoría de conjuntos son un tipo particular de conjuntos (en la teoría de conjuntos - "obviamente" todo es un conjunto).
Que nedd el concepto de par ordenado $(a,b)$ que es diferente de $\{ a, b \}$ (debido a $\{ a, b \} = \{ b, a \}$, es decir, el orden es indiferente, donde el par ordenado es ... ordenado); $a$ es el primer elemento de la pareja y $b$ es el segundo.
Una función en la teoría de conjuntos es un conjunto de parejas ordenadas,
siempre que se satisfaga la "regla básica" para las funciones, es decir, que si $f(x)=y_1$$f(x) = y_2$,$y_1=y_2$.
Esta regla será "reescrito" en el conjunto de la lengua como : un conjunto $f$ de parejas ordenadas es una función cuando :
$\forall x \forall y_1 \forall y_2 ( \quad <x,y_1> \in f \quad \land <x,y_2> \in f \quad \rightarrow y_1 = y_2 \quad )$.
Vamos a escribir la función de $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ define como $f(x) = 2 \times x$ como :
$\{ \quad <x,y> \quad : \quad x,y \in \mathbb{N} \land y = 2 \times x \quad \}$.
Este "objeto" en la teoría de conjuntos (set). se comporta como "habitual" funciones matemáticas.
