Acerca de el gran resultado de $\int\underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^x}}}}_m~dx$

Question

Yo aviso, tanto la wikipedia y mathworld el gran resultado de $\int\underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^x}}}}_m~dx$ que:

$\int\underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^x}}}}_m~dx=\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,-\ln x)+\sum\limits_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x)$ donde $a_{mn}=\begin{cases}1&\text{if}~n=0\\\dfrac{1}{n!}&\text{if}~m=1\\\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^nja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}&\text{otherwise} \end{cases}$

¿Cómo funciona este resultado deriva?

Answer 1

Alguien publicó una buena pregunta en el sci.matemáticas hace mucho tiempo sobre la búsqueda de la expansión de la función exp(exp(x)) en términos de x. Dos personas respondieron correctamente: Robert Israel y Leroy Quet. He utilizado Leroy del resultado y se encontró que un patrón secundario surgido, que es el de la serie hasta la m, que es la relativa a la función W, de la que he publicado más tarde (de este y otros resultados como incidental por indcution). En realidad Leroy del nombre en la referencia, ya que él resolvió el paso básico de búsqueda de la primera expansión. En el momento en que he subestimado la importancia de su resultado y se olvidó de darle crédito por ello.