Suma que implican un factorial: $1 + \sum_{j=1}^{n} j!j$

Question

$$1 + \sum_{j=1}^{n} j!j$$

Quiero encontrar una fórmula para arriba y luego demostrarlo por inducción. La respuesta, según Wolfram es $(n+1)!-1$, sin embargo no tengo idea de cómo llegar allí. Cualquier sugerencias o ideas sobre cómo debería abordar esta?

Answer 1

Esta es una simple inducción. El uso de $(n+1)! = (n+1) \cdot n! = n\cdot n! + n!$.

Añadido: no veo ninguna mejor manera de jugar con la fórmula. Reorganizar esto y usted tiene $j \cdot j! = (j+1)! - j!$. Pero entonces usted tiene \begin{align*} \sum_{j=1}^{n} j \cdot j! & = \sum_{j=1}^{n} [ (j+1)! - j!] \\ & = [2! - 1!] + [3! - 2!] + \cdots + [n! - (n-1)!] + [(n+1)! - n!] \end{align*} y ver que todo se cancela, a excepción de los términos $- 1!$ desde el primer sumando y $(n+1)!$ desde el último sumando, por tanto, la suma debe ser igual a $(n+1)! - 1$.

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Edit 2

He aquí el argumento: Queremos demostrar que la siguiente instrucción $T(n)$ tiene para todos los $n \in \mathbb{N}$: \[ (n+1)! - 1 = \sum_{j=1}^{n} j \cdot j!. \] Para $n = 1$ tenemos la declaración de $T(1)$: \[ 1 = (1+1)! - 1 = \sum_{j=1}^{1} j \cdot j! = 1\cdot 1! = 1, \] así que esto está bien. Suponga que $T(n)$ mantiene. Queremos demostrar a $T(n+1)$: \[ (n+2)! - 1 = \sum_{j=1}^{n+1} j \cdot j!. \] Comience con el lado derecho: \[ \sum_{j=1}^{n+1} j \cdot j! = (n+1)\cdot (n+1)! + \sum_{j=1}^{n} j \cdot j! \] Pero la última suma es igual a $(n+1)! - 1$ por nuestra suposición de que $T(n)$ es cierto, así que \begin{align*} \sum_{j=1}^{n+1} j \cdot j! & = (n+1)\cdot (n+1)! + (n+1)! - 1 \\ & = [(n+1) + 1]\cdot(n+1)! - 1 = (n+2) \cdot (n+1)! - 1\\ & = (n+2)! - 1, \end{align*} por lo $T(n+1)$ mantiene así.

Answer 2

Hay una buena interpretación de esta identidad en términos de unicidad de la representación factorial de la base. Pero para responder a tu comentario de Theo Buehler la respuesta, telescópico secuencias son sólo una cosa que usted debe ser consciente de y tratar de buscar, y la identidad Theo usado es equivalente a lo que Wolfram le dijo a usted, así que...

Answer 3

Parece que usted tiene una forma cerrada ya. Si desea derivar en lugar de obtenerla de una de oracle, Gosper del algoritmo de hacer el trabajo.