Freyd: "es un subobjeto de" no es transitivo

Question

En la página 20 de Categorías abelianas , escribe Freyd

Nótese que la relación "es un subobjeto de" no es transitiva.

En la página 91 de Awodey Teoría de la categoría (hay varios errores tipográficos en esta página; el relevante ahora está en el diagrama - interruptor $M$ y $M^{\prime}$ ) tenemos que si $M^{\prime}\leq M$ y $M,M^{\prime}$ son subobjetos de un objeto $X$ , entonces la flecha $f$ en $m=m^{\prime}f$ (siendo mónico ya que también lo son $m,m^{\prime}$ ) hace $M^{\prime}$ un subobjeto de $M$ . Por lo tanto, el subobjeto $M^{\prime}$ de un subobjeto $M$ de $X$ es a su vez un subobjeto de $X$ .

A menos que me esté perdiendo algo, lo único que impide una contradicción aquí es la premisa $M^{\prime}\leq M$ , que proporciona el monic $f$ junto con el triángulo conmutador hace simultáneamente $M^{\prime}$ un subobjeto de ambos $M$ (vía $f$ mismo), y $X$ (vía $m^{\prime}$ ).

Sin embargo, Awodey escribe a continuación que tenemos un functor (aquí hay otra errata, $M^{\prime}$ debe ser $M$ y las palabras "con $f$ " debe ser borrado) $$\mathsf{Sub}(M)\rightarrow \mathsf{Sub}(X)$$ ¿No haría tal functor cualquier subobjeto $M^{\prime}$ de $M$ un subobjeto de $X$ independientemente de que $M^{\prime}\leq M^{\prime}$ ¿o no? ¿No contradice esto la declaración de Freyd?

Answer 1

(En mi versión de Awodey esta es la página 78-9, no la 91).

Freyd sólo está haciendo una observación lingüística, como queda claro en lo que dice a continuación: "En efecto, los subobjetos, tal y como los hemos definido, no tienen subobjetos" -- sólo los objetos tienen subobjetos. Un subobjeto no es un objeto, sino un monomorfismo (o, dependiendo de tu definición, una clase de equivalencia de monomorfismos). Así que ni siquiera puedes estado transitividad, estrictamente hablando. Como dice Freyd, "se trata de una consideración barroca".

El resultado de transitividad al que creo que se refiere es que si $M' \overset{f}{\to}M$ es un subobjeto de $M$ y $M \overset{m}{\to} X$ es un subobjeto de $X$ , entonces como los monomorfismos son cerrados bajo composición, $M' \overset{m \circ f}{\to} X$ es un subobjeto de $X$ . Abusando del lenguaje, omitiendo la mención de las flechas implicadas, se podría decir simplemente: si $M'$ es un subobjeto de $M$ y $M$ es un subobjeto de $X$ entonces $M'$ es un subobjeto de $X$ . Pero técnicamente es sólo un abuso del lenguaje lo que permite decir esto.

Answer 2

En mi opinión, esto no es más que la forma descarada de Freyd de decir que "subobjeto" está sobrecargado. Significa ambas cosas:

1. Un objeto de la categoría $\mathrm{Sub}_X$ cuyos objetos son monomorfismos en $X$ y cuyas flechas son triángulos conmutativos. (Ejercicio; demuestre que hay a lo sumo una flecha entre dos objetos cualesquiera de esta categoría).
2. Una relación binaria $\subseteq_X\, : \mathrm{Sub}_X \times \mathrm{Sub}_X \rightarrow \{False,True\},$ expresando que una flecha se factoriza a través de la otra (lo que, en base al ejercicio anterior, determina completamente la estructura de $\mathrm{Sub}_X$ .)

Estos están relacionados, por supuesto. Dado un objeto $Y$ hay una "inclusión" $\eta_{X,Y} : \mathrm{Mono}(Y,X) \rightarrow \mathrm{Sub}_X$ . (Utilizo comillas porque $\eta_{X,Y}$ no tiene por qué ser inyectiva; con esto quiero decir simplemente que podemos tener monomorfismos distintos $Y \rightarrow X$ mapeados a objetos isomórficos de $\mathrm{Sub}_X.$ ) Si tenemos flechas $f : A \rightarrow X$ y $g : B \rightarrow X$ cuyas imágenes bajo $\eta$ satisfacer $$\eta_{X,A}(f) \subseteq_X \eta_{X,B}(g),$$

entonces hay una flecha única $c : A \rightarrow B$ tal que $g \circ c = f$ . Ahora bien, es un principio general que si un compuesto $g \circ c$ es un monomorfismo, entonces $c$ es también un monomorfismo (ejercicio.) Se deduce que $\eta_{B,A}(c)$ está bien definido, así que tenemos un subobjeto de $B$ que podría llamarse razonablemente " $A$ visto como un subobjeto de $B$ ."