¿Existen mapas continuos de Zariski entre conjuntos algebraicos que no sean mapas polinómicos?

Question

Supongamos que $S_1$ y $S_2$ son los conjuntos de fuga de un sistema de ecuaciones polinómicas en n variables sobre un campo $\mathbb{k}$ (ideal en $\mathbb{k}[X_1,\dots,X_n]$ ) y un sistema de ecuaciones polinómicas en m variables sobre un campo $\mathbb{k}$ (ideal en $\mathbb{k}[Y_1,\dots,Y_m]$ ). Podemos dar $S_1$ y $S_2$ la topología de Zariski dejando que todos los subconjuntos algebraicos de $S_1$ y $S_2$ para ser cerrado.

Seguramente, si $Y_j\circ f\colon S_1\to\mathbb{k}$ es un polinomio en $\mathbb{k}[X_1,\dots,X_n]/I(S_1)$ para cada $j$ entonces $f$ es continua en la topología de Zariski.

La condición de que $Y_j\circ f$ sea polinómica, sin embargo, parece demasiado estricta: mientras el conjunto de fuga de $Y_j\circ f$ eran iguales al conjunto de fuga de una función polinómica, $f$ sería continua, lo que significa que los morfismos habituales de $S_1$ a $S_2$ no son lo mismo que los mapas continuos entre ellos como espacios (Zariski-)topológicos.

Mi pregunta entonces es de dos partes.

1. ¿Es cierto que existen mapas continuos de Zarsiki que no son polinómicos?
2. Si la respuesta es afirmativa, entonces cuál es la forma geométrica de pensar en la estructura extra que preservan los mapas polinómicos, es decir, los mapas continuos aplastan subconjuntos de $S_1$ de tal manera que los subconjuntos no algebraicos nunca se aplastan en los algebraicos, pero algunos algebraicos pueden aplastarse en los no algebraicos, ¿pero los polinomios también dan qué características al aplastamiento geométrico?

Answer 1

Si entiendo bien tu pregunta, entonces (1) sí, habrá muchos mapas continuos de Zariski que no sean polinómicos (aunque, si se pide que todos los productos superiores del mapa preserven la topología de Zariski en las fuentes y objetivos correspondientes, ésta es una restricción mucho más fuerte, creo --- ¿alguien conoce los detalles?); y (2) la estructura extra habitual que se añade es la gavilla de funciones regulares en la fuente y el objetivo; los mapas polinómicos hacen retroceder funciones regulares en el objetivo a funciones regulares en la fuente. Así, las variedades se consideran naturalmente como objetos en la categoría de espacios localmente anillados (es decir, espacios equipados con una determinada estructura de gavilla de anillos) y no sólo en la categoría de espacios topológicos.

Answer 2

La conjugación compleja $\bar \cdot : \Bbb C \to \Bbb C$ es un ejemplo concreto de función continua de Zariski que no es una función polinómica.

No es una función polinómica porque si lo fuera, ya que esta propiedad es independiente de la topología subyacente, $\bar \cdot$ también sería una función polinómica en la topología trascendental (la topología "habitual" sobre $\Bbb C$ ), por lo que también sería holomorfa - lo que claramente no es, ya que no satisface las relaciones de Cauchy-Riemann.

Para ver que es continua, observe que si $Z = f^{-1}(\{0\})$ con $f \in \Bbb C[x]$ y si $\bar f$ es el polinomio que se obtiene conjugando los coeficientes de $f$ entonces

$$\bar \cdot ^{-1} (Z) = \bar \cdot (Z) = \{ \bar x \in \Bbb C \mid f(x) = 0\} = \{ \bar x \in \Bbb C \mid \overline{f(x)} = 0\} = \{ \bar x \in \Bbb C \mid \bar f(\bar x) = 0\} = \\ \{ z \in \Bbb C \mid \bar f(z) = 0\} = \bar f ^{-1} (\{0\})$$

que es cerrado por Zariski.

Si $C$ es un conjunto cerrado de Zariski arbitrario, entonces existen polinomios $f_1, \dots, f_k$ tal que

$$C = f_1 ^{-1} (\{0\}) \cap \dots \cap f_k ^{-1} (\{0\}) ,$$

por lo que se deduce que

$$\bar \cdot ^{-1} (C) = \bar \cdot ^{-1} \Big( f_1 ^{-1} (\{0\}) \cap \dots \cap f_k ^{-1} (\{0\}) \Big) = \bar f_1 ^{-1} (\{0\}) \cap \dots \cap \bar f_k ^{-1} (\{0\})$$ que, al ser una intersección de conjuntos cerrados por Zariski, es a su vez cerrado por Zariski.

Como la preimagen de todo conjunto cerrado de Zariski es cerrada de Zariski, se deduce que $\bar \cdot$ es continua de Zariski.

Answer 3

Sólo un comentario fácil. Si $k = \mathbb{F}_q$ es el campo finito con $q$ elementos, entonces cada función $k^n \to k$ es un mapa polinómico. De hecho, para cada punto $p = (a_1, \dots, a_n) \in k^n$ consideremos el polinomio $$f(x_1, \dots, x_n) = (-1)^n \prod_{i=1}^n \prod_{b \in \mathbb{F}_q \setminus \{ a_i \} } (x_i - b);$$ $f(p) = 1$ y $f$ es cero en $k^n \setminus \{ p \}$ .

Answer 4

Sí, existen mapas continuos de Zariski entre variedades algebraicas que no son polinomios. Por ejemplo toda biyección entre $\mathbb A ^1$ y ella misma es continua de Zariski pero no polinómica en general: piense en la biyección que permuta $0$ y $1$ y deja los demás puntos fijos.

La forma de pensar geométrica es que los subconjuntos algebraicos deben ser preservados. Sólo se utilizan polinomios y funciones racionales.

Answer 5

Considera la línea afín y busca un ejemplo allí mismo.