Un elemento de un grupo tiene el mismo orden que su inverso.

Question

Si $a$ es un elemento de grupo, demuestra que $a$ y $a^{-1}$ tienen el mismo orden.

Intenté hacer esto por contradicción.

Supongamos $|a|\neq|a^{-1}|$.

Sea $a^n=e$ para algún $n\in \mathbb{Z}$ y $(a^{-1})^m=e$ para algún $m\in \mathbb{Z}$, y podemos asumir que $m < n$.

Entonces $e= e*e = (a^n)((a^{-1})^m) = a^{n-m}$. Sin embargo, $a^{n-m}=e$ implica que $n$ no es el orden de $a$, lo cual es una contradicción y $n=m$.

Pero me di cuenta de que esto no satisface la condición si $a$ tiene orden infinito. ¿Cómo pruebo esa parte?

Answer 1

Si $a^n$ es $e$, entonces $e=(aa^{-1})^n=a^n(a^{-1})^n=e(a^{-1})^n=(a^{-1})^n.

Si $(a^{-1})^n=e$, entonces $e=(aa^{-1})^n=a^n(a^{-1})^n=a^ne=a^n.

Así, $a^n=e \iff (a^{-1})^n=e$.

Answer 2

Supongamos que $a$ tiene orden infinito. Mostramos que $a^{-1}$ no puede tener orden finito. Supongamos por el contrario que $(a^{-1})^m=e$ para algún entero positivo $m$. Tenemos por aplicación repetida de asociatividad que $$a^m (a^{-1})^m=e.$$ Se sigue que $a^m=e$.

Answer 3

Supongamos que a es un elemento y n es su orden, entonces $$a^n=e$$ Multiplicando repetidamente por $a^{-1}$ n veces $$(a^{-1})^{n}•(a)^{n}=e•(a^{-1})^n$$ $$(a^{-1}•a)^{n}=(a^{-1})^n$$ $$e^n=(a^{-1})^n=e$$ Por lo tanto, el inverso de "a" también tiene un orden de n.

Answer 4

Parece que existe una solución más directa?

Si $g$ tiene orden infinito, entonces también lo tiene $g^{-1}$ ya que de lo contrario, para algún $m\in\mathbb{Z}^+$, tenemos $(g^{-1})^m=e=(g^m)^{-1}$, lo cual implica $g^m=e$ ya que el único elemento cuyo inverso es la identidad es la identidad. Esto contradice que $g$ tiene orden infinito, por lo tanto $g^{-1}$ debe tener orden infinito.

Si $g$ tiene orden finito $n$, entonces por la existencia de inversos en un grupo $$g^n=e\iff$$ $$g^n \cdot (g^{-1})^n=e\cdot(g^{-1})^n\iff$$ $$g^n\cdot g^{-n}=(g^{-1})^n\iff$$ $$ e = (g^{-1})^n$$ Esto implica que $|g^{-1}|\leq n$.

Si $|g^{-1}|, digamos $m$, entonces $(g^{-1})^m=e=(g^m)^{-1}\implies g^m=e$ , lo cual contradice que $|g|=n>m$. Por lo tanto $|g^{-1}|=n$ si $|g|=n$.