Este es un soft pregunta, pero estoy dispuesto a hacer.
Hay algunas maneras de introducir el campo de los números complejos, pero si Usted tuvo la oportunidad de escribir primaria, libros de texto, ¿cuál sería el más intuitivo de introducción para una muy escéptico público?
Ejemplo de una "mala" respuesta: anote todos los axiomas y, a continuación, cita de Hilbert "existencia en matemáticas significa libertad de contradicción".
$\mathbb{C}$ tiene muy poco que ver con los axiomas. Simplemente deje $\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ y, a continuación, definir las operaciones apropiadas. En particular:
$$(x,y)(x',y') = (xx'-yy',xy'+yx')$$
Entonces demostrar que la aritmética dentro de $\mathbb{C}$ se comporta como se espera.
Otros enfoques posibles:
Bien, pero ¿y si la audiencia es uber-escéptico?
Si ellos no aceptan que $\mathbb{R}$ existe, puede utilizar un conjunto axiomático-teoría (es decir, ZFC) para probar su existencia. Del mismo modo, si ellos no aceptan que de $\mathbb{R}$ podemos construir $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ con las operaciones antes mencionadas, entonces puede que tenga que apelar a un conjunto axiomático-teoría (o de otros de la fundación).
Si ellos no aceptan la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos, los aplaudo por ser muy escéptico. A continuación, los reto a que encuentren sus propias ideas y su propio sistema formal en el que para asegurar las matemáticas. Este es un sorprendentemente difícil reto, y es probable que aumente su respeto por los cimientos existentes! Esperemos que no tanto, los que dejan reflexionando sobre sus propios fundamentos, sin embargo. Las reglas del juego son:
No me gusta la introducción a través de $x^2+1=0$, porque es demasiado fácil para una persona escéptica decir, ¿por qué se debe que la ecuación tiene una solución, de todos modos? Yo prefiero mirar algo como $x^3-6x-4=0$. Ahora, que tiene una solución real; el lado izquierdo es negativo para $x=2$ y positivo para $x=3$, por lo que no hay una solución en algún lugar entre el 2 y el 3. Y se puede expresar que la solución como $$x=\root3\of{2+2\sqrt{-1}}+\root3\of{2-2\sqrt{-1}}$$ como se puede comprobar mediante la cubicación de ella y hacer un poco de álgebra.
Históricamente, los números complejos vino en soluciones de cúbicas, no cuadráticas.
He tenido un poco de diversión y algo de éxito con los niños de la escuela intermedia el uso de este enfoque.
Que saben sobre el número de línea. Se puede entender que la adición de una cantidad fija puede ser pensado como la traducción, la de la derecha para los positivos y a la izquierda para los negativos. Tenga en cuenta que la traducción por $a$ toma el número de $0$$a$. Se puede entender una fracción como $a/2$ lo que usted necesita traducir por dos veces a traducir por $a$.
A continuación, pasamos a la multiplicación por números positivos. Como una transformación, multiplicando por un fijo $a$ es un cambio de escala. Tenga en cuenta que escala por $a$ toma el número de $1$$a$. Que conduce a una definición de $\sqrt{a}$ como el número de la escala por dos veces a la escala de $a$.
A continuación nos tenga en cuenta que la multiplicación por $-1$ es una reflexión acerca de las $0$ sobre la línea. (Por cierto, que le ayuda con el "¿por qué es negativo veces negativo positivo?") Pero ¿cuál es la mitad que la reflexión? ¿Qué se puede hacer dos veces para terminar la mudanza $x$$-x$? Simplemente gire el número de la línea media vuelta (de la izquierda es la derecha convención). Los niños realmente les gusta esa idea. Por analogía, que es un reescalado por el número que se $1$ mueve - así que tenemos a $i$ en el lugar correcto en el recientemente introducido el número de plano. La estructura aditiva de el resto de el número de plano sigue fácilmente cuando se interpreta como la traducción.
El pleno de la estructura multiplicativa es mucho más difícil - históricamente y por ahora cansado de la escuela intermedia. Usted puede hacerlo con la distributiva de la ley, pero la geometría es más difícil. Usted no puede llegar a coordenadas polares. Pero ellos estarán encantados de encontrar $\sqrt{i}$ como una rotación y, a continuación, sus partes real e imaginaria ya que saben que la longitud de la hipotenusa de un triángulo isósceles rectangular con el lado de la $1$$\sqrt{2}$.
Si la audiencia es muy escéptico, no habrá camino más corto para introducir los números complejos. Creo que sería sospechoso de cualquier enfoque "axiomático".
Para este público, me gustaría tomar un camino más largo, que pasa a ser relevantes. Me gustaría presente (y demostrar) la Cardano del algebraicas fórmulas para resolver tercer y cuarto grado de las ecuaciones.
Entonces, me gustaría demostrar que las fórmulas producir correcta raíces REALES, aun cuando no son las raíces cuadradas de los números negativos que intervienen en el cálculo que se anulan. Lo que este hecho sugiere que las raíces cuadradas de números negativos pueden ser tratados como números de los que realmente existen.
A continuación, me gustaría remarcar que las raíces cuadradas de los números negativos, SI es QUE EXISTEN, puede ser reducido a $a\sqrt{-1}$ donde $a$ es un número real.
A continuación, me gustaría algebraicamente deducir cuáles serían las propiedades de tales "imaginario" de los números cuando se combina con los números reales.
Por último, me gustaría volver y demostrar que los "extraños" los números (o, lo que podemos llamar el "complejo" de los números), resultante de la combinación de lo real y lo "imaginario" de los números, funciona perfectamente con el de las fórmulas de Cardano y también con ecuaciones de segundo grado.
Es muuuucho manera de presentar los números complejos, pero corresponde (al menos parcialmente) a cómo históricamente el concepto de los números complejos apareció.
Sólo una respuesta suave - tal vez mal.
significa que $x = \pm \sqrt{2}, \mathbf{1} = 1$, pero también podemos escribir $$ x = \pm \left( \begin{array}{cc} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2}\end{array} \right), \mathbf{1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array} \right). $$
Podemos considerar ahora los objetos se escribe como $$ \mathbf{c}(x,y) = x + \mathbf{i} y, $$ mantener la rotación de 90 grados en nuestra mente.
Mientras que para los verdaderos números, no podemos tener a $x^2 < 0$, para rotaciones $\mathbf{R}$, PODEMOS tener $\mathbf{R}^2 = -1$.
Tenga en cuenta que $$ \mathbf{c}(x,y) = \left( \begin{array}{cc} x & -y \\ y & x\end{array} \right). $$
Y tenga en cuenta que $$ x^2 + 2 \cdot \mathbf{1} = 0, $$ significa que
$$ \mathbf{x} = \pm \left( \begin{array}{cc} 0 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0\end{array} \right) = \pm \mathbf{i} \sqrt{2}. $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
