Demostrar que $\exp(x)>0$ utilizando sólo la definición formal de la exp

Question

Este problema sería fácil si podría utilizar el hecho de que $\exp(x)=e^x$, pero tengo que usar la siguiente definición: $$\exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ También puedo usar el hecho de que $$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$$ Entonces, ¿cómo puedo demostrar, utilizando los dos ecuaciones, que $$\forall x\in \mathbb{R}:\exp(x)>0 $$ Quiero decir, no sólo puede utilizar la definición, porque si $x<0$, entonces no es tan obvio que $\exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}>0$. Alguien puede darme una pista o dos?

Gracias!

Answer 1

$\exp(x) = \exp(x/2+x/2)=\exp(x/2)^2 \ge 0$ todos los $x$.

$ \exp(x)=\exp(x_0)\exp(x-x_0) $ implies that if exp is zero for some $x_0$ then it is zero for all $x$.

Answer 2

Es muy sencillo: podemos ver que $\exp(x) > 0$ todos los $x > 0$ usando la definición de la serie. A continuación, tenga en cuenta que $\exp(0) = 1$, de nuevo utilizando la definición de la serie. A continuación, para $x < 0$, considerar la segunda definición $1 = \exp(0) = \exp(x+(-x)) = \exp(x) \exp(-x)$, de la que fácilmente se deduce que $\exp(x) = 1/\exp(-x) > 0$.