Encontrar un error en el siguiente falsos prueba

Question

Teorema: La función de $f:\mathbb{R} \rightarrow [-10,10]$ definido por $f(x) = \cos(x)+\sin(x)$ todos los $x \in \mathbb{R}$ no tiene máximo o mínimo en ($-\infty,+\infty$)

Prueba: La función es derivable en a $\mathbb{R}$ así que uno debe ser capaz de encontrar sus extremos por la configuración de la derivada a 0. En particular, $$(\sin(x)+\cos(x))' = 0$$ $$\cos(x)-\sin(x) = 0$$ $$\sin(x) = \cos(x)$$ $$\sin(x+\pi/2) = \sin(x)$$ $$x+\pi/2 = x.$$

Y el final de la ecuación que nunca es verdadera. Sin embargo, WolframAlpha no está de acuerdo con mis conclusiones...

Answer 1

El problema es que $$ \sin(\pi/2 +x) = \sin(x) $$ no implica que $$ x+\pi/2 = x. $$ Esto sólo sería cierto si $\sin$ fue uno-a-uno en el intervalo considerado.

Answer 2

Teorema. Cualquier continua y periódica de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ alcanzan su máximo y mínimo de los valores de una infinidad de veces.

Prueba. Suponga que el periodo es $T>0.$ Ahora consideramos $f:[0,T]\to \mathbb{R}$ la restricción de $f$ $[0,T].$Porque de Weirstrass teorema (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem) no existe $c,d\in [0,T]$ tal que $f(c)\le f(x)\le f(d),\forall x\in [0,T].$

Ahora, desde la $f$ es periódica tenemos que $f(c)\le f(x)\le f(d),\forall x\in \mathbb{R}.$ Además, tenga en cuenta que $f(c+kT)=f(c),\forall k\in\mathbb{Z}$ $f(d+kT)=f(d),\forall k\in\mathbb{Z}.$ QED.

Nota: $f(x) = \cos(x)+\sin(x)$ satisface la hipótesis del teorema anterior. Por lo que satisface la tesis.

El problema en su prueba de ello es que $\sin$ no es inyectiva. Así, a partir de $\sin x=\sin y$ no se puede concluir $x=y.$ tenga en cuenta que $\sin 0=\sin\pi=0$ $0\ne \pi.$

Answer 3

La ecuación de $\sin(x+\pi/2)=\sin(x)$ tiene soluciones $\pi/4$ $5\pi/4$ en el intervalo de $[0,2\pi]$. Más en general, ha de soluciones $\pi(n-7/4)$, $n\in\mathbb Z$.

Desde que la igualdad desea a la conclusión de que la $x+\pi/2=x$, que no tiene solución.

Answer 4

Cos (x)=sin (pi/2-x). Para comparar ambos. Usted obtener 2x=phi/2. x=phi/4. Tiene valor máximo en phi/4. De igual modo, en x=5phi/4 tendrá como mínimo.

Answer 5

Aparte de la descrita en el Thomas respuesta, hay otro error en la prueba. Considere una función de $f(x) = x$$[-10; 10]$. Se ha $$f^\prime(x) = 1 \neq 0$$ everywhere, but it definitely has its maximum at $x=10$ endpoint and its minimum at $x=-10$ endpoint.