Pregunta
Dado un cuadrado de matriz compleja $A$, ¿de qué maneras existen para definir y calcular el $A^p$ para los no-integral escalar exponentes $p\in\mathbb R$, y por lo matrices funcionan?
Mis pensamientos
Integral de los exponentes
La definición de $A^k$ $k\in\mathbb N$ es fácil en términos de multiplicación repetida, y las obras de cada matriz. Esto incluye a $A^0=I$. El uso de $A^{-1}$ a la inversa, $A^{-k}=\left(A^{-1}\right)^k$ es fácil de definir, pero requiere que la matriz a es invertible. Tanto por parte integral de los exponentes.
Definición racional
Supongo que para un exponente racional, se podría definir
$$A^{\frac pq}=B\quad:\Leftrightarrow\quad A^p=B^q$$
Esto permitirá más de una solución, y no estoy seguro de si los cálculos voy a describir a continuación encontrará todas las soluciones que satisface la ecuación anterior. Así que no estoy seguro de si eso es una definición razonable. Para no exponentes racionales, un límite de uso de una serie convergente de los exponentes racionales podría funcionar.
Diagonalizable computación
Si $A$ es diagonalizable, entonces uno ha $A=W\,D\,W^{-1}$ para algunos matriz diagonal $D$. Uno puede simplemente levantar todos los elementos de la diagonal a la $p$-ésima potencia, la obtención de una matriz en la cual se va a satisfacer la ecuación anterior. Para cada elemento diagonal, me gustaría definir $\lambda^p=e^{(p\ln\lambda)}$, y desde $\ln\lambda$ sólo está definida hasta el $2\pi i\mathbb Z$, esto permite múltiples soluciones posibles. Si uno requiere de $-\pi<\operatorname{Im}(\ln\lambda)\le\pi$, entonces la solución debe ser bien definido, y supongo que esta definición tiene incluso un nombre, aunque yo no lo saben.
No diagonalizable computación
Si $A$ no es diagonalizable, entonces todavía hay una forma normal de Jordan, así que en lugar de la crianza de los elementos de la diagonal a una potencia fraccionaria, se podría intentar hacer lo mismo con los bloques de Jordan. A menos que cometí un error, esto parece ser posible. Al menos para mi ejemplo, de una $3\times3$ Jordania bloque, yo era capaz de obtener un $k$-ésima raíz.
$$ \begin{pmatrix} \lambda^{\frac1k} & \tfrac1k\lambda^{\frac1k-1} & \tfrac{1-k}{2k^2}\lambda^{\frac1k-2} & \\ 0 & \lambda^{\frac1k} & \tfrac1k\lambda^{\frac1k-1} \\ 0 & 0 & \lambda^{\frac1k} \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} $$
Si el autovalor $\lambda$ de este bloque es cero, entonces la raíz de la fórmula anterior sería la matriz cero, que no resulte en un bloque de Jordan. Pero de lo contrario se debe trabajar.
Conclusión
Editado ya que esta pregunta se pidió por primera vez.
Así que parece que cada invertible la matriz puede ser elevado para cada racional de energía, siempre y cuando la singularidad no es un requisito seguro. No es invertible la matriz aparentemente puede ser elevado para no negativo poderes mientras todos los bloques de Jordan para autovalor cero tiene el tamaño de uno.
¿Es esto cierto? Si no, ¿dónde está mi error? Si es así, hay una buena referencia para este?
