Cómo completamente resuelve la ecuación $z^4 - 2z^3 + 9z^2 - 14z + 14 = 0$ donde hay una raíz con la parte real de $1$.

Question

Por favor quisiera ayuda con resolver la siguiente ecuación:

$$z^4 - 2z^3 + 9z^2 - 14z + 14 = 0$$

Todo lo que sé acerca de la ecuación es que hay una raíz con la parte real de $1$.

Mi enfoque ha sido factor hacia fuera de la raíz: $1 + yi$ y dividir la ecuación con él. Los siguientes cálculos (usando el algoritmo de división) es bastante engorroso, y me pregunto si hay alguna forma mejor de hacerlo?

¡Gracias amablemente su ayuda!

Answer 1

Elegir $z = 1 + y i$, obtienes la fórmula:

$$y^4 - 2 i y^3 - 9y^2 + 2 i y + 8 = 0$$

Porque $y$ es real, esto quiere decir que

$$2 y^3 - 2y = 0$$

y

$$ y^4 - 9y^2 + 8 = 0$$

La primera ecuación implica $y = 0, 1, -1$. La segunda ecuación implica que el $y^2 = 8$ o $y^2 = 1$. Así vemos ambos $1 + i$ y $1 - i$ son soluciones. Factor del polinomio $(z - 1 + i)(z - 1 - i) = z^2 - 2z + 2$ y encontrarás las raíces restantes.

Answer 2

Como los coeficientes de los diferentes poderes de $z$ son reales,

si uno de los cuatro raíces es $1+yi,$ el otro debe ser su conjugado $1-yi$ .

Si las otras dos raíces son $x,w,$

a continuación, el uso de las Fórmulas de Vieta para el coeficiente de $z^3$, $1+yi+1-yi+x+w=2\implies w=-x$

Por eso, $$(z-x)(z+x)\{z-(1+yi)\}\{z-(1-yi)\}=0$$

$$\implies (z^2-x^2)(z^2-2z+1+y^2)=0$$

$$\implies z^4-2z^3+z^2(1+y^2-x^2)+2x^2z-x^2(1+y^2)=0$$

Ahora comparamos los coeficientes de los distintos poderes de $z$

Por eso, $2x^2=-14,x^2=-7,x=\pm \sqrt{-7}=\pm \sqrt7i$ $1+y^2-x^2=9\implies 1+y^2+7=9,y^2=1$

Así, las raíces se $\pm \sqrt7i,1\pm i$

Answer 3

Maxima me dice que las raíces son $\pm i \sqrt{7}$, $1 \pm i$. Factores como el $(z^2 + 7) (z^2 - 2 z + 2)$.