Grupos de homología relativa del Toro

Question

Tengo la siguiente pregunta al problema 2.1.17 en Allen Hatcher "Topología Algebraica". Hasta el momento, se me ocurrió la siguiente exacta de secuencias (para a y B):

$$ \begin{aligned} 0&\rightarrow H_{2}(A) \rightarrow H_{2}(X) \rightarrow H_{2}(X,A)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{1}(A) \rightarrow H_{1}(X) \rightarrow H_{1}(X,A)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{0}(A) \rightarrow H_{0}(X) \rightarrow H_{0}(X,A) \rightarrow 0 \end{aligned} $$ y $$ \begin{aligned} 0&\rightarrow H_{2}(B) \rightarrow H_{2}(X) \rightarrow H_{2}(X,B)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{1}(B) \rightarrow H_{1}(X) \rightarrow H_{1}(X,B)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{0}(B) \rightarrow H_{0}(X) \rightarrow H_{0}(X,B) \rightarrow 0, \end{aligned} $$ donde $H_{2}(A) = H_{2}(B) = 0$, $H_{1}(A) = H_{1}(B) = \mathbb{Z} = H_{0}(A) = H_{0}(B)$ y para $X$ hay$H_{2}(X) = H_{0}(X) = \mathbb{Z}$$H_{1}(X) = \mathbb{Z}^{4}$. Además sé que las asignaciones $H_{1}(A) \rightarrow H_{1}(X)$ es cero y que el $H_{1}(B) \rightarrow H_{1}(X)$ es inyectiva. Por estas yo podría deducir que $H_{0}(X,A) = 0$$H_{1}(X,A) = \mathbb{Z}^{4}$$H_{0}(X,B) = 0$. Pero yo no puedo seguir más. ¿Qué acerca de la otra relación de homología de grupos? ¿Qué necesito más? Espero que esta pregunta no es demasiado trivial y pedir disculpas. Espero la ayuda de alguien.

mika

Answer 1

$(X,A)$ $(X,B)$ son buenos pares (debido a $X$ es una célula compleja y $A$ $B$ son subcomplejos).

Ahora usted puede utilizar la proposición 2.22. en la página 124 que establece que $H_n(X,A) \cong \tilde{H_n}(X/A)$.

En tu caso, tienes $X/A = T^2 \vee T^2$$X/B = T^2 \vee S^1$. Así que usted desea calcular la reducción de la homología de una cuña de suma. Por el corolario 2.25. en la página 126 sabes que $\tilde{H_n} (\bigvee_\alpha X_\alpha) = \bigoplus_\alpha \tilde{H_n}(X_\alpha)$ así que la respuesta a la pregunta se reduce al cálculo de la reducción de la homología de grupos de $T^2$ $S^1$ respectivamente.

Espero que esto ayude. De lo contrario, no dude en preguntar.

En cuanto a tu pregunta: sería bueno que usted si se podría modificar e incluir la cuestión de Hatcher. Lo harían? Gracias de antemano.

Answer 2

Para el caso de $H(X,A)$: sólo tiene que conectar la secuencia exacta de las cosas que usted sabe:

$0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,A) \to \mathbb{Z} =H_1(A)\to H_1(X)= \mathbb{Z}^4 \to H_1(X,A)\to 0$

Como usted dijo, el mapa de $\mathbb{Z} =H_1(A)\to H_1(X)= \mathbb{Z}^4$ es el cero mapa, ya que los $A$ límites de un subterráneo en $X$; por lo tanto se puede dividir la secuencia en dos piezas más fácil:

$ 0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,A) \to \mathbb{Z} =H_1(A)\to 0$

$0 \to H_1(X)= \mathbb{Z}^4\to H_1(X,A)\to 0$

Pero estos son exactas secuencias! para obtener respectivamente

$H_2(X,A) / \mathbb{Z} = H_1(A)$, lo que implica $H_2(X,A)=\mathbb{Z} ^2$

$H_1(X,A)=\mathbb{Z}^4$

Ahora tomemos el caso (X,B) y tapón en lo que usted sabe

$0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,B) \to \mathbb{Z} =H_1(B)\to H_1(X)= \mathbb{Z}^4 \to H_1(X,B)\to 0$

Ahora $B$ no es nullhomologous y así el mapa de $H_1(B) \to H_1(X)$ es inyectiva; por lo tanto, se puede dividir así:

$0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,B) \to 0$ , lo que implica $H_2(X,B)=\mathbb{Z}$

$0\to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^4 \to H_1(X,b)$ , lo que implica $ H_1(X,B) = \mathbb{Z}^4 / \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^3 $

Observe que:

1) esto es consistente con la respuesta de Matt, pero es más básico: usted no necesita encontrar cualquier retractarse de $X/A$ o $X/B$ y no es necesario el resultado de la cuña de sumas, sólo un poco de razonamiento en inyectiva mapas entre los poderes de la $\mathbb{Z}$.

2) esto se generaliza a una superficie arbitraria de género $g$ ($2g$en lugar de $4$, pero la prueba es exactamente la misma).

Déjeme saber si algo no estaba claro.