Grupos de homología relativa del toro

Question

Tengo la siguiente pregunta sobre el problema 2.1.17 en "Algebraic Topology" de Allen Hatcher.

Calcula los grupos $H_n(X,A)$ y $H_n(X,B)$ donde $X$ es una superficie orientable cerrada de género dos y $A$ y $B$ son los círculos mostrados en la imagen de la página 132 de Hatcher (página 141 del pdf).

Hasta ahora he llegado a las siguientes sucesiones exactas (para A y B):

$$ \begin{aligned} 0&\rightarrow H_{2}(A) \rightarrow H_{2}(X) \rightarrow H_{2}(X,A)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{1}(A) \rightarrow H_{1}(X) \rightarrow H_{1}(X,A)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{0}(A) \rightarrow H_{0}(X) \rightarrow H_{0}(X,A) \rightarrow 0 \end{aligned} $$ y $$ \begin{aligned} 0&\rightarrow H_{2}(B) \rightarrow H_{2}(X) \rightarrow H_{2}(X,B)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{1}(B) \rightarrow H_{1}(X) \rightarrow H_{1}(X,B)\rightarrow\\ &\rightarrow H_{0}(B) \rightarrow H_{0}(X) \rightarrow H_{0}(X,B) \rightarrow 0, \end{aligned} $$ donde $H_{2}(A) = H_{2}(B) = 0$, $H_{1}(A) = H_{1}(B) = \mathbb{Z} = H_{0}(A) = H_{0}(B)$ y para $X$ hay $H_{2}(X) = H_{0}(X) = \mathbb{Z}$ y $H_{1}(X) = \mathbb{Z}^{4}$. Además, sé que las aplicaciones $H_{1}(A) \rightarrow H_{1}(X)$ son cero y que $H_{1}(B) \rightarrow H_{1}(X)$ es inyectiva. Con esto pude deducir que $H_{0}(X,A) = 0$ y $H_{1}(X,A) = \mathbb{Z}^{4}$ y $H_{0}(X,B) = 0. Pero no puedo seguir más allá. ¿Qué pasa con los otros grupos de homología relativa? ¿Qué necesito más? Espero que esta pregunta no sea demasiado trivial y pido disculpas. Espero que alguien pueda ayudar.

mika

Answer 1

$(X,A)$ y $(X,B)$ son buenos pares (porque $X$ es un complejo celular y $A$ y $B$ son subcomplejos).

Ahora puedes utilizar la proposición 2.22. en la página 124 que establece que $H_n(X,A) \cong \tilde{H_n}(X/A)$.

En tu caso tienes $X/A = T^2 \vee T^2$ y $X/B = T^2 \vee S^1$. Así que quieres calcular la homología reducida de una suma wedge. Según el corolario 2.25. en la página 126 sabes que $\tilde{H_n} (\bigvee_\alpha X_\alpha) = \bigoplus_\alpha \tilde{H_n}(X_\alpha)$ por lo que la respuesta a la pregunta se reduce a calcular los grupos de homología reducida de $T^2$ y $S^1$ respectivamente.

Espero que esto ayude. De lo contrario, no dudes en preguntar.

En cuanto a tu pregunta: Sería amable de tu parte si pudieras editarla e incluir la pregunta de Hatcher. ¿Podrías hacerlo? Gracias de antemano.

Answer 2

Para el caso $H(X,A)$: solo tienes que insertar en la secuencia exacta las cosas que sabes:

$0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,A) \to \mathbb{Z} =H_1(A)\to H_1(X)= \mathbb{Z}^4 \to H_1(X,A)\to 0$

Como dijiste, el mapa $\mathbb{Z} =H_1(A)\to H_1(X)= \mathbb{Z}^4$ es el mapa cero ya que $A$ limita una sub-superficie en $X$; así que puedes dividir tu secuencia en dos piezas más sencillas:

$ 0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,A) \to \mathbb{Z} =H_1(A)\to 0$

$0 \to H_1(X)= \mathbb{Z}^4\to H_1(X,A)\to 0$

¡Pero estas son secuencias exactas! así que obtienes respectivamente

$H_2(X,A) / \mathbb{Z} = H_1(A)$, lo que implica $H_2(X,A)=\mathbb{Z} ^2$

$H_1(X,A)=\mathbb{Z}^4$

Ahora toma el caso (X,B) e inserta lo que sabes

$0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,B) \to \mathbb{Z} =H_1(B)\to H_1(X)= \mathbb{Z}^4 \to H_1(X,B)\to 0$

Ahora $B$ no es nulomológico y por lo tanto el mapa $H_1(B) \to H_1(X)$ es inyectivo; por lo tanto, puedes dividirlo así:

$0 \to \mathbb{Z} \to H_2(X,B) \to 0$ lo que implica $H_2(X,B)=\mathbb{Z}$

$0\to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^4 \to H_1(X,B)$ lo que implica $ H_1(X,B) = \mathbb{Z}^4 / \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^3 $

Nota que:

1) esto es consistente con la respuesta de Matt, pero es más básico: no necesitas encontrar ningún retracto de $X/A$ o $X/B$ y no necesitas el resultado sobre sumas de cuñas, solo un razonamiento sobre mapas inyectivos entre potencias de $\mathbb{Z}$.

2) esto se generaliza a una superficie de género arbitrario $g$ (tendrás $2g$ en lugar de $4$, pero la prueba es exactamente la misma).

Avísame si algo no quedó claro.

Answer 3

(No tengo suficiente reputación, por lo que no puedo responder al comentario de @man_in_green_shirt arriba.)

En la respuesta de @Lor arriba, debería haber un cero en el lado derecho de, $$ 0 \rightarrow H_1(X) \rightarrow H_1(X,A) \rightarrow 0 $$ pero no porque $H_0(A) = 0$.

Todos los elementos $[\alpha] \in H_1(X,A)$ son enviados a la clase de homología en $H_0(A)$ correspondiente a $\partial \alpha \in C_0(A)$. Pero luego observa que cualquier $\partial \alpha \in C_0(A)$ está en realidad delimitando una región contigua de $A$. Entonces, cualquier $\partial \alpha$ de ese tipo es una frontera en $C_0(A)$, y por lo tanto $\partial \alpha$ es homólogo nulo en $H_0(A)

.

Observa que esto no sería cierto si, por ejemplo, $A$ no fuera el círculo mostrado, sino que fueran dos arcos disjuntos del círculo.