¿C *-álgebras de Banach enrejados?

Question

Parece trivial pero no estoy seguro sobre la monotonía de la norma en el caso no conmutativo:

¿Es cada C *-álgebra un enrejado de Banach con respecto a su natural cono positivo?

Answer 1

En el fin de un mundo ordenado espacio vectorial a ser un entramado de Banach, entre otras cosas, es necesario que cualquiera de los dos elementos del espacio tienen un mayor límite inferior y menos límite superior en el espacio. Esta propiedad, por lo general falla en $C^*$ álgebras con su habitual $C^*$-algebraica de pedidos.

Consideremos por ejemplo el $C^*$ álgebra $A$ $2 \times 2$ matrices sobre los números complejos (con las operaciones: la suma de la matriz, la multiplicación de la matriz y la matriz transpuesta conjugada como la involución). Deje $a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Es fácil ver que $a \geq 0$$b \geq 0$$A$, y, por tanto, que cualquier elemento de a $c$ $A$ satisfacción $a \leq c$ o $b \leq c$ debe ser auto-adjunto. Corto cálculos muestran que si $c = \begin{pmatrix} x & y \\ y^* & z \end{pmatrix}$, $a \leq c$ mantiene si y sólo si $x \geq 1$, $z \geq 0$, y $(x - 1) z \geq |y|^2$, e $b \leq c$ mantiene si y sólo si $x \geq 0$, $z \geq 1$, y $x(z - 1) \geq |y|^2$.

De ello se sigue que el conjunto de límites superiores para $\{a,b\}$ $A$ es el conjunto $$U = \left\{\begin{pmatrix} x & y \\ y^* & z \end{pmatrix}: x \geq 1, z \geq 1, xz - \max(x,z) \geq |y|^2\right\}.$$ Yo reclamo que $U$ no tiene menos de elemento. Supongamos que contrario a lo que se hace; denota por $\lambda$. Hay números reales $s$ $t$ y un complejo número de $u$ satisfactorio $s \geq 1$, $t \geq 1$, y $st - \max(s,t) \geq |u|^2$$\lambda = \begin{pmatrix} s & u \\ u^* & t \end{pmatrix}$. Está claro que el $2 \times 2$ matriz identidad $I$$U$, y de $\lambda \leq I$ uno fácilmente se deduce que $1 - s \geq 0$$1 - t \geq 0$. La combinación de estos con las anteriores limitaciones en $s$ $t$ podemos deducir que $s = t = 1$ y, por tanto,$|u|^2 \leq 1 \cdot 1 - \max(1,1) = 0$, por lo que el $u = 0$ y, por tanto,$\lambda = I$. Pero hay elementos $d$ $U$ que $I \leq d$ no posee. La matriz $\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 & 2i \\ -2i & 6 \end{pmatrix}$ es un ejemplo concreto, pero hay muchos otros.

Esto también muestra que $\{-a,-b\}$ no tiene más límite inferior en $A$, por supuesto. Así que realmente no hay esperanza de $A$ ser una celosía.

(Tenga en cuenta que $a$ $b$ son auto-adjunto proyecciones, y si se restringen $\leq$ para el conjunto de la auto-adjunto proyecciones en $A$, se obtiene un entramado, que es isomorfo a la celosía de subespacios cerrados de $\mathbb{C}^2$. El supremum de $a$ $b$ en este entramado es $I$ y el infimum de $a$$b$$0$. Pero el conjunto de proyecciones en $A$ no es un espacio vectorial real, y mucho menos de un entramado de Banach.)

Algunos teoría general que pueda ser de su interés:

• S. Sherman demostrado (en Orden en las álgebras de operadores, 1951) que un $C^*$-álgebra $A$ es un entramado con respecto a su nivel habitual de la orden, si y sólo si $A$ es conmutativa.

• R. V. Kadison demostrado (en Orden de propiedades fijas auto adjunto operadores, 1951) que cuando se $H$ es un espacio de Hilbert de dimensión$\geq 2$, $C^*$ álgebra $A$ de todos los operadores acotados en $H$ es, en cierto sentido, "tan lejos de ser un entramado como usted puede conseguir", ya que si $a$ $b$ son auto-adjuntos de los elementos de $A$, a continuación, $\{a, b\}$ tiene un mayor límite inferior sólo si cualquiera de las $a \leq b$ o $b \leq a$. Para cualquier par de no comparables auto-adjunto de los operadores de generar un contraejemplo como el que te di anteriormente.