Clasificar grupos de cuyos subgrupos anidados

Question

Consideramos que los grupos de $G$ para que tomando las intersecciones de los subgrupos no producen "nuevo" de los subgrupos. Vamos a definir:

• Decimos que un grupo de $G$ tiene el fuerte de anidación-subgrupos de la propiedad si por cualquier subgrupos $H$$K$$G$, $H \subset K$ o $K \subset H$.

• Y decimos $G$ tiene el débil de anidación-subgrupos de la propiedad si por cualquier subgrupos $H$ $K$ tal que $H \cap K \ne \{ e\}$ le tienen o $H \subset K$ o $K \subset H$.

PROBLEMA: Clasificar a todos los grupos de $G$ con el fuerte de anidación-subgrupos de la propiedad, y clasificar todos los grupos con los débiles de anidación-subgrupos de la propiedad.

Si el problema general es demasiado duro, soluciones de casos especiales como cuando $G$ es finito y/o abelian etc. también sería interesante.

Esto fue inspirado por el hilo Debe subgrupos comparten un elemento en común ser anidados en cada uno de los otros?

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Actualización: a partir De los comentarios a la pregunta, resulta claro que el hilo se encuentran unidas por lhf cubre todos los casos con el fuerte de la propiedad (estos grupos deben ser abelian desde arbitrarias de elementos $a,b\in G$ los subgrupos $\langle a\rangle$ $\langle b\rangle$ están dentro de la otra, por lo $ab=ba$). Por lo tanto, sólo nos interesa (parcial o total) de las respuestas para los débiles de anidación-subgrupos de propiedad de la parte.

Answer 1

Supongamos que $G$ es un grupo havinng los débiles de anidación de la propiedad. Si $N$ es un trivial normal subgrupo de $G$ $N$ tiene el débil de anidación de la propiedad y $G/N$ tiene el fuerte de anidación de la propiedad, por lo $G/N$ debe ser cíclico del primer poder de la orden.

Supongamos que $G$ es finita nonabelian simple grupo, vamos a $M$ ser un subgrupo maximal de a $G$, y considerar la (fiel) permutación representación de $G$ en el conjunto de $\Omega$ de cosets $M$$G$. Desde Frobenius grupos no son simples, existen distintos $\alpha,\beta \in \Omega$ para que el 2-punto de estabilizador en esta acción es trivial. Este 2-punto estabilizador $G_{\alpha\beta}$ está contenida en dos distintas punto de estabilizadores $G_\alpha$ $G_\beta$ (su distinción de la siguiente manera a partir de la primitivity de la acción), por lo $G$ no tiene la débil intersección de la propiedad.

Por lo que se deduce por la inducción que un grupo finito con esta propiedad es solucionable. Podemos tomar $N$ a un mínimo normal de los subgrupos y luego, desde la $N$ tiene la propiedad, $N$ es cíclico de primer orden $p$ o primaria abelian de orden $p^2$. Desde $G/N$ es cíclico del primer poder de la orden, espero que esto le da suficiente información para escribir un integrador descripción de todas las posibles estructuras. Pero lo voy a dejar que por ahora!

Añadido posterior: Verret actualmente se ha demostrado en los comentarios de abajo que la única grupos finitos con el débil intersección de la propiedad son cíclicos de los grupos de primer poder de la orden, $Z_p^2$ $p$ primer y, para los distintos números primos $p,q$, $Z_{pq}$, $Z_p \rtimes Z_q$ con trivial acción (por lo $q\mid p-1$), y $Z_p^2 \rtimes Z_q$ con irreductible de acción (por lo $q \mid p+1$).