% Función lisa $f: (-\pi/2,\pi/2) \to \mathbb{R} $, si $\displaystyle\frac{|f''(x)|}{\sqrt{(1+f'(x))^3}} = \cos{x}$y $f(0) = f'(0) = 0$, $f''(0) = 1$, $f''(-\pi/2) = 0$ y $f''(\pi/2) = 0$. ¿Cuál es la función $f(x)$?
Respuesta
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Este es un de segundo orden diferential ecuación con tres condiciones iniciales (olvidemos por ahora acerca de las condiciones de contorno), aunque por lo general dos son suficientes para tener existencia y unicidad. Sin embargo, a partir de la ecuación y $f(0)=f'(0)=0$, se deduce que el $|f''(0)|=1$, que es compatible con la tercera condición $f''(0)=1$. Desde $f''(0)>0$, la segunda derivada de la solución va a ser positivo en un barrio de $0$ ; así, en un primer paso, nos podemos olvidar de basora el valor absoluto.
Deje $f´=y$. El problema se convierte en $$ (1+y)^{-3/2}y'=\cos x,\quad y(0)=0. $$ Esta es una de primer orden de la ecuación en variables independientes, cuya solución es $$ y=\frac{4}{(2-\sin x)^2}-1. $$ Entonces $$ f(x)=-x+\int_0^x\frac{4\,dt}{(2-\sen t)^2}, $$ y $$ f"(x)=y'(x)=\frac{8\cos x}{(2-\sin x)^3}. $$ Desde $f''>0$ $(-\pi/2,\pi/2)$ y $f''(-\pi/2)=f''(\pi/2)=0$, $f$ es la solución que usted está buscando. A continuación la gráfica de $f$, $f'$ y $f''$.
