Entre 100 monedas está defectuoso: tiene dos cabezas. Uno elige una moneda (una buena o mala) y tira 10 veces. Resulta que la cabeza salga todo 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la cabeza salga otra vez cuando la moneda se sacude una vez más?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
fluorine
Puntos
419
Por favor, tenga en cuenta que el error del Jugador no se aplica aquí, porque no todas las monedas son iguales.
La fórmula de Bayes el teorema expresa la relación entre el$\Pr(A\mid B)$$\Pr(B\mid A)$. En nuestro contexto, puede ser escrito como
$$\Pr(\text{Defective}\mid 10H) = \frac{\Pr(10H\mid\text{Defective})\Pr(\text{Defective})}{\Pr(10H)}$$
Sabíamos que
- $\Pr(\text{Defective}) = 1/100$
- $\Pr(10H\mid\text{Defective}) = 1^{10} = 1$
- $\Pr(10H) = 1 \cdot 1/100 + (1/2)^{10} \cdot 99/100 = 1123/102400$
Por lo $\Pr(\text{Defective}\mid 10H) = 1024/1123$. Esto significa que la probabilidad de que usted está sosteniendo un defecto de la moneda, dado que 10 cabezas de vino, es muy alta. Esto tiene sentido porque es poco probable que una buena moneda a dar 10 consecutivos cabezas.
Así que, si de hecho es un defecto de la moneda, luego de que la probabilidad de obtener una cabeza de nuevo, será
$$1024/1123 \cdot 1 = 1024/1123$$
O, si es que no un defecto de la moneda, luego de que la probabilidad es
$$99/1123 \cdot 1/2 = 99/2246$$
Por lo tanto,
$$\Pr(\text{Head again}) = 1024/1123 + 99/2246 = 2147/2246$$
D'Marie
Puntos
1
Tenemos dos variables aleatorias que voy a llamar
$C$ por la naturaleza de la moneda, con posibilidades: $n$ para el normal y $d$ defectuoso
$H$ para el número de cabezas en 10 lanzamientos.
Primero debemos calcular cuál es la probabilidad de que la moneda en muy buen estado defectuoso dado que contamos con 10 lanzamientos de todos los jefes, que puede ser expresada $$P(C=d \vert H=10)= \frac{P(C=d,H=10)P(C=d)}{P(H=10)}$$
Sabemos que $P(C=d)=\frac{1}{100}$, e $P(C=d,H=10)=1$
Calculamos el $$P(H=10)=P(C=d,H=10)P(C=d)+P(C=n,H=10)P(C=n)=\frac{1123}{102400}\simeq 0.0109668$$
donde $P(C=n,H=10)=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$, e $P(C=n)=\frac{99}{100}$
Así
$$P(C=d \vert H=10)= \frac{P(C=d,H=10)P(C=d)}{P(H=10)}=\frac{1024 }{1123}\simeq 0.911843$$
Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad de que en el siguiente tiro ($NH$) cabezas va a salir $$P(NH=1\vert H=10)=P(NH=1,C=d\vert H=10)p(C=d\vert H=10)+P(NH=1,C=n\vert H=10)P(C=n\vert H=10)$$
que es
$$P(NH=1\vert H=10)=1\frac{1024 }{1123}+\frac{1}{2}\frac{99 }{1123} =\frac{2147}{2246}\simeq 0.955922$$
Oli
Puntos
89
Primero calculamos la probabilidad de que la moneda es buena (fair) dado tenemos cabezas de $10$. Que $G$ ser el evento utilizamos una moneda buena, y $T$ ser los jefes consecutivos evento $10$. Por lo tanto queremos $\Pr(G|T)$. Por la definición de probabilidad condicional, $$\Pr(G|T)=\frac{\Pr(G\cap T)}{\Pr(T)}.$ $
La probabilidad de $G\cap T$ es $\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{2^{10}}$.
La probabilidad de $T$ es $\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{100}\cdot 1$.
Dividir. Tenemos $\Pr(G|T)=\frac{99}{99+2^{10}}$. Llame a este número $p$.
Entonces la probabilidad es próxima que una cabeza es $p\cdot\frac{1}{2}+(1-p)\cdot 1$.
Nikolai Prokoschenko
Puntos
2507
Utilice el teorema de Bayes para obtener un resultado como $$\frac{P_0(A)P(H|A)^{11}+P_0(A^c)P(H|A^c)^{11}}{P_0(A)P(H|A)^{10}+P_0(A^c)P(H|A^c)^{10}}$% % de P_0 (A) $ where $% #% P_0(A^c) $ is the prior probability of a good coin, $P(H| A) $ es la probabilidad condicional de una cabeza de una buena moneda, etc..
