Existencia de un Pythagorean Triple con un lado dado.

Question

Tengo curiosidad acerca de la respuesta a la pregunta:

¿Existe un triple pythagorean con $n$ como uno de los lados todos $n\geq 3$?.

Sus respuestas y comentarios significará mucho.

Answer 1

Si $n$ es impar, tenemos $$n^2 + \left(\dfrac{n^2-1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{n^2+1}{2}\right)^2$ $ si $n$ es que incluso tenemos $$n^2 + \left( \dfrac{n^2}{4}-1 \right)^2 = \left( \dfrac{n^2}{4} + 1 \right)^2$ $

Answer 2

Tenemos

$n^2 + (\frac{n^2-1}{2})^2 = (\frac{n^2+1}{2})^2$.

Al $n$ es impar y mayor que o igual a $3$, el segundo y tercer términos son ambos enteros positivos.

Al $n$ es regular y no un poder de $2$, podemos escribir $n=2^kn'$ donde $n'$ es impar y mayor que o igual a $3$. Tomar una solución para $n'$ y luego se multiplica por $2^k$.

Finalmente, para cualquier $k\geq 2$ hemos

$(2^k)^2 + (2^{2k-2}-1)^2 = (2^{2k-2}+1)^2$.,

donde el segundo y tercer términos son enteros positivos por nuestra suposición sobre la $k$. Esto cubre todos los poderes de $2$ mayor que o igual a $4$.